力矩

力矩（moment of force^[1]，moment^[2]）在物理學中，是作用力促使物體繞著轉動軸或支點轉動的趨向^[3]；也就是作用力使物體產生「轉」、「扭」或「彎」效應的量度。簡略地說，力矩是一種施加於例如螺栓、飛輪一類的物體，或是擰毛巾、扳鋼筋的扭轉力。例如，用扳手的開口箝緊螺栓或螺帽，然後轉動扳手，這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。

在一個旋轉系統裏，作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$、位置向量${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$、力矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}$、動量${\displaystyle \mathbf {p} \,\!}$、角動量${\displaystyle \mathbf {L} \,\!}$，這些物理量之間的關係。

使機械元件轉動的力矩又稱轉矩（turning moment^[4]，moment of rotation^[5]）即轉動力矩；在材料力學、土木工程和建築學中，作用引起的結構或構件某一截面上的剪力所構成的力偶矩，稱為扭矩^[6]（torsional moment，torque），而作用引起的結構或構件某一截面上的正應力所構成的力矩，則稱為彎矩^[7]（bending moment）。

力矩能夠使物體改變其旋轉運動。推擠或拖拉涉及到作用力，而扭轉則涉及到力矩。如上圖，力矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}$等於徑向向量${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$與作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$的叉積。

根據國際單位制，力矩的單位是牛頓${\displaystyle \cdot }$米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作單位；根據英制單位，力矩的單位則是英尺${\displaystyle \cdot }$磅。力矩的表示符號是希臘字母${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}$，或${\displaystyle \mathbf {M} \,\!}$。

力矩與三個物理量有關：施加的作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$、從轉軸到施力點的位移向量${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$、兩個向量之間的夾角${\displaystyle \theta \,\!}$。力矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}$以向量方程式表示為

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}$。

力矩的大小為

${\displaystyle \tau =rF\sin \theta \,\!}$。

定義

用右手定則決定力矩方向

力矩等於作用於槓桿的作用力乘以支點到力的垂直距離。例如，3 牛頓的作用力，施加於離支點2 米處，所產生的力矩，等於1牛頓的作用力，施加於離支點6米處，所產生的力矩。力矩是個向量。力矩的方向與它所造成的旋轉運動的旋轉軸同方向。力矩的方向可以用右手定則來決定，也可以用叉乘計算。假設作用力垂直於槓桿。將右手往槓桿的旋轉方向彎捲，伸直的大拇指與支點的旋轉軸同直線，則大拇指指向力矩的方向^[8]。

假設作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$施加於位置為${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$的粒子。選擇原點（以紅點表示）為參考點，只有垂直分量${\displaystyle F_{\perp }\,\!}$會產生力矩。這力矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}$的大小為${\displaystyle \tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} _{\perp }|=|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!}$，方向為垂直於屏幕向外。

更一般地，如圖右，假設作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$施加於位置為${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$的粒子。選擇原點為參考點，力矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}$以方程式定義為

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}$。

力矩大小為

${\displaystyle \tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!}$；

其中，${\displaystyle \theta \,\!}$是兩個向量${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$與${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$之間的夾角。

力矩大小也可以表示為

${\displaystyle \tau =rF_{\perp }\,\!}$；

其中，${\displaystyle F_{\perp }\,\!}$是作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$對於${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$的垂直分量。

任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。

從叉積的性質，可推論，力矩垂直於位置向量${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$和作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$。力矩的方向與旋轉軸平行，由右手定則決定。

與角動量之間的關係

地心引力${\displaystyle \mathbf {F_{g}} \,\!}$的力矩造成角動量${\displaystyle \mathbf {L} \,\!}$的改變。因此，陀螺呈現進動現象。

假設一個粒子的位置為${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$，動量為${\displaystyle \mathbf {p} \,\!}$。選擇原點為參考點，此粒子的角動量${\displaystyle \mathbf {L} \,\!}$為

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!}$。

粒子的角動量對於時間的導數為

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\\&=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\\&=\mathbf {r} \times m\mathbf {a} \\\end{aligned}}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle m\,\!}$是質量，${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$是速度，${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$是加速度。

應用牛頓第二定律，${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \,\!}$，可以得到

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}$。

按照力矩的定義，${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}$，所以，

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!}$。

作用於一物體的力矩，決定了此物體的角動量${\displaystyle \mathbf {L} \,\!}$對於時間${\displaystyle t\,\!}$的導數。

假設幾個力矩共同作用於物體，則這幾個力矩的合力矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }\,\!}$共同決定角動量的對於時間的變化：

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{1}+\cdots +{\boldsymbol {\tau }}_{n}={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!}$。

關於物體的繞著固定軸的旋轉運動，

${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}\,\!}$；

其中，${\displaystyle I\,\!}$是物體對於固定軸的轉動慣量，${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}$是物體的角速度。

所以，取上述方程式對時間的導數：

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (I{\boldsymbol {\omega }})}{\mathrm {d} t}}=I{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=I{\boldsymbol {\alpha }}\,\!}$；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}$是物體的角加速度。

單位

力矩的定義是距離乘以作用力。根據國際單位制，力矩的單位是牛頓${\displaystyle \cdot }$米^[9]（Nm）。雖然牛頓與米的次序，在數學上，是可以交換的，但是國際重量測量局（Bureau International des Poids et Mesures）規定這次序應是牛頓${\displaystyle \cdot }$米，而不是米${\displaystyle \cdot }$牛頓^[10]。

根據國際單位制，能量與功量的單位是焦耳，定義為1牛頓${\displaystyle \cdot }$米。但是，焦耳不是力矩的單位。因為，能量是力點積距離的標量；而力矩是距離叉積作用力的向量。當然，量綱相同並不儘是巧合，使1牛頓${\displaystyle \cdot }$米的力矩，作用1 全轉，需要恰巧${\displaystyle 2\pi \,\!}$焦耳的能量：

${\displaystyle E=\tau \theta \,\!}$。

其中，${\displaystyle E\,\!}$是能量，${\displaystyle \theta \,\!}$是移動的角度，單位是弧度。

根據英制，力矩的單位是英尺${\displaystyle \cdot }$磅。

矩臂方程式

矩臂圖

在物理學外，其他的學術界裡，力矩時常會如以下定義：

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=({\text{moment arm}})\cdot {\textrm {force}}\,\!}$。

右圖顯示出矩臂（moment arm）、前面所提及的相對位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$、作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$（force）。這個定義並沒有指出力矩的方向，只有力矩的大小。所以，並不適用於三維空間問題。

靜力概念

當一個物體在靜態平衡時，合力是零，對任何一點的合力矩也是零。二維空間的平衡要求是

${\displaystyle \sum F_{x}=0\,\!}$，

${\displaystyle \sum F_{y}=0\,\!}$，

${\displaystyle \sum \tau =0\,\!}$。

這裡，${\displaystyle F_{x},\ F_{y}\,\!}$是作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$分別在x-軸與y-軸的分量。假若，這三個聯立方程式有解，則稱此系統為靜定系統；不然，則稱為靜不定系統。

力矩、能量和功率之間的關係

假設施加作用力於一物體，使得此物體移動一段距離，則作用力對於此物體做了機械功。類似地，假設施加力矩於一物體，使得此物體旋轉一段角位移，則力矩對於此物體做了機械功。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動，以數學方程式表達，

${\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta \,\!}$；

其中，${\displaystyle W\,\!}$是機械功，${\displaystyle \theta _{1}\,\!}$、${\displaystyle \theta _{2}\,\!}$分別是初始角和終結角，${\displaystyle \mathrm {d} \theta \,\!}$是無窮小角位移元素。

根據功能定理，${\displaystyle W\,\!}$也代表物體的旋轉動能${\displaystyle K_{\mathrm {rot} }\,\!}$的改變，以方程式表達，

${\displaystyle K_{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2}\,\!}$。

功率是單位時間內所做的機械功。對於旋轉運動，功率${\displaystyle P\,\!}$以方程式表達為

${\displaystyle P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\,\!}$。

請注意，力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關，而角速度是否在增加中，或在減小中，或保持不變，功率都與這些狀況無關。

實際上，在與大型輸電網路相連接的發電廠裏，可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定，而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。

在計算功率時，必須使用一致的單位。採用國際單位制，功率的單位是瓦特，力矩的單位是牛頓-米，角速度的單位是每秒弧度（不是每分鐘轉速rpm，也不是每秒鐘轉速）。

力矩原理

力矩原理闡明，幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和，等於這些作用力的合力所產生的力矩。力矩原理又名伐里農定理(Varignon's theorem)^[11]（以法國科學家兼神父皮埃爾·伐里農命名），以方程式表達，

${\displaystyle (\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{1})+(\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{2})+\cdots =\mathbf {r} \times (\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots )\,\!}$。

參考文獻

1. https://terms.naer.edu.tw/detail/09e3fa45b1d9fac0d25d6a44e794f576/?seq=2
2. 存档副本. [2023-05-19]. （原始內容存檔於2023-05-19）.
3. Serway, R. A. and Jewett, Jr. J. W. (2003). Physics for Scientists and Engineers. 6th Ed. Brooks Cole. ISBN 978-0-534-40842-8.
4. 存档副本. [2023-05-19]. （原始內容存檔於2023-05-19）.
5. 存档副本. [2023-05-19]. （原始內容存檔於2023-05-19）.
6. 存档副本. [2023-05-19]. （原始內容存檔於2023-05-19）.
7. 存档副本. [2023-05-19]. （原始內容存檔於2023-05-19）.
8. *喬治亞州州立大學（Georgia State University）線上物理網頁：力矩的右手定則, [2007-09-08], （原始內容存檔於2007-08-19）
9. SI brochure Ed. 8, Section 5.1, Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01], （原始內容存檔於2007-05-19）
10. SI brochure Ed. 8, Section 2.2.2, Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01], （原始內容存檔於2005-03-16）
11. Engineering Mechanics: Equilibrium, by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64

延伸閱讀

• Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 978-0-7167-0809-4.

參閱

• 馬力
• 扭力轉換器
• 剛體動力學
• 機械平衡（mechanical equilibrium）
• 扭矩扳手（torque wrench）
• 力矩密度

外部連結

• 模擬力矩平衡的Java小程式（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Torque and Angular Momentum in Circular Motion （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） on Project PHYSNET（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
• Torque Unit Converter（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）