子集

子集（英語：subset）亦稱部分集合，為某集合中部分元素的集合；關係相反時則稱作父集、母集、超集。子集與父集的關係被稱為「包含」。

A是B的子集，B是A的超集。

如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素（任意 a∈A，則 a∈B），那麼集合A稱為集合B的子集，記為 ${\displaystyle A\subseteq B}$ 或 ${\displaystyle B\supseteq A}$，讀作「集合A包含於集合B」或「集合B包含集合A」。

即：${\displaystyle \forall a\in A}$，有 ${\displaystyle a\in B}$，則 ${\displaystyle A\subset B}$。

若${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$為集合，且 ${\displaystyle A}$ 的所有元素都是 ${\displaystyle B}$ 的元素，則可表示為：

• ${\displaystyle A}$是${\displaystyle B}$的子集（或稱 ${\displaystyle A}$ 包含於 ${\displaystyle B}$）；${\displaystyle A\subseteq B}$
• ${\displaystyle B}$是${\displaystyle A}$的父集／超集（或稱 ${\displaystyle B}$ 包含 ${\displaystyle A}$）；${\displaystyle B\supseteq A}$

任何集合${\displaystyle B}$皆是本身的子集（${\displaystyle B\subseteq B}$）。而${\displaystyle B}$的子集中不等於 ${\displaystyle B}$ 的集合，稱為真子集，若 ${\displaystyle A}$ 是 ${\displaystyle B}$ 的真子集，寫作 ${\displaystyle A\subsetneqq B}$。

定義

假設有 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 兩個集合，如果 ${\displaystyle A}$ 中的每個元素都是${\displaystyle B}$的元素，則：

• ${\displaystyle A}$ 是 ${\displaystyle B}$ 的子集，記作 ${\displaystyle A\subseteq B}$

也可以說

• ${\displaystyle B}$ 是 ${\displaystyle A}$ 的超集，記作 ${\displaystyle B\supseteq A}$

如果 ${\displaystyle A}$ 是 ${\displaystyle B}$ 的子集，但 ${\displaystyle A}$ 不等於 ${\displaystyle B}$（即 ${\displaystyle B}$ 中至少存在一個元素不在 ${\displaystyle A}$ 集合中），則：

• ${\displaystyle A}$ 是 ${\displaystyle B}$ 的真子集，記作 ${\displaystyle A\subsetneqq B}$

也可以說

• ${\displaystyle B}$ 是 ${\displaystyle A}$ 的真超集，記作 ${\displaystyle B\supsetneqq A}$

符號

ISO 80000-2 標準中定義了兩種符號搭配：^[1]

• ${\displaystyle \subseteq }$表示子集關係，${\displaystyle \subset }$表示真子集關係。使用的作品如^[2][3][4]
• ${\displaystyle \subset }$表示子集關係，${\displaystyle \subsetneqq }$表示真子集關係。使用的作品如^[5]:p.6

舉例

• 集合 ${\displaystyle \left\{1,2\right\}}$ 是集合 ${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}}$ 的真子集。
• 自然數集合是有理數集合的真子集。
• 集合 ${\displaystyle \{x:x}$是大於2000的素數${\displaystyle \}}$ 是集合 ${\displaystyle \{x:x}$是大於1000的奇數${\displaystyle \}}$ 的真子集。
• 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
• 空集，寫作 ${\displaystyle \varnothing }$，是任意集合 ${\displaystyle X}$ 的子集。空集總是其他集合的真子集，除了其自身。

性質

A是B的子集。

命題1：空集是任意集合的子集。

這個命題說明：包含是一種偏序關係。

命題2：若 ${\displaystyle A,B,C}$ 是集合，則：

自反性：

• ${\displaystyle A\subseteq A}$

反對稱性：

• ${\displaystyle A\subseteq B}$且${\displaystyle B\subseteq A}$當且僅當${\displaystyle A=B}$

傳遞性：

• 若${\displaystyle A\subseteq B}$且${\displaystyle B\subseteq C}$則${\displaystyle A\subseteq C}$

這個命題說明：對任意集合 ${\displaystyle S}$，${\displaystyle S}$ 的冪集按包含排序是一個有界格，與上述命題相結合，則它是一個布爾代數。

命題3：若 ${\displaystyle A,B,C}$ 是集合 ${\displaystyle S}$ 的子集，則：

存在一個最小元和一個最大元：

• ${\displaystyle \varnothing \subseteq A\subseteq S}$（ ${\displaystyle \varnothing \subseteq A}$由命題1給出）

存在並運算：

• ${\displaystyle A\subseteq A\cup B}$
• 若${\displaystyle A\subseteq C}$且${\displaystyle B\subseteq C}$則${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$

存在交運算：

• ${\displaystyle A\cap B\subseteq A}$
• 若 ${\displaystyle C\subseteq A}$ 且 ${\displaystyle C\subseteq B}$ 則 ${\displaystyle C\subseteq A\cap B}$

命題4:對任意兩個集合 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$，下列表述等價：

• ${\displaystyle A\subseteq B}$
• ${\displaystyle A\cap B=A}$
• ${\displaystyle A\cup B=B}$
• ${\displaystyle A-B=\varnothing }$
• ${\displaystyle B'\subseteq A'}$

這個命題說明：表述"${\displaystyle A\subseteq B}$"，和其他使用併集，交集和補集的表述是等價的，即包含關係在公理體系中是多餘的。

參考文獻

1. ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics. ISO. 2019-08 [2023-7-24]. （原始內容存檔於2023-03-13） （英語）. 請檢查|access-date=中的日期值 (幫助)
2. 離散數學-第三章, [2012-09-07], （原始內容存檔於2012-07-03）
3. 剑桥大学国际考试院IGCSE数学考纲 (PDF), [2015-03-14], （原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04）
4. Subsets and Proper Subsets (PDF), [2012-09-07], （原始內容 (PDF)存檔於2013-01-23）
5. Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157

參見

• 冪集：某集合的全部子集組成的集合。