規範形式 (布爾代數)

布爾代數中，所有由標準邏輯運算符組成的布爾函數，都可以表示為布爾規範形式。規範形式分為「極小項」形式，及其對偶，「極大項」形式。

極小項

我們首先定義極小項(minterm)。對於一個有 n 個變量的布爾函數，極小項是由邏輯與運算符將這 n 個變量（或其邏輯否定）不重複地組合而成的邏輯表達式。

例如：

${\displaystyle ab'c}$

${\displaystyle a'bc}$

這兩項中每個變量都出現，且僅只出現一次。三個變量間都僅使用邏輯與相連，因此這兩項都符合極小項的定義。

${\displaystyle n}$個變量有${\displaystyle 2^{n}}$個可能的極小項—這是因為在極小項表達式中，一個變量要麼是其自身，要麼是其邏輯否定形式—${\displaystyle n}$個變量中的每個都有兩種選擇。

索引極小項

為了方便書寫極小項，我們按照其中的每個變量是否含有邏輯非，為每一個可能的極小項指派一個索引值。

首先確保每個極小項中的變量都按照同樣的次序排列（通常按拉丁字母序），從左到右，每個變量對應一個二進制位。一個帶邏輯非的項，如${\displaystyle a'}$，對應的二進制位為 0，而一個不帶邏輯非的項，如${\displaystyle a}$，對應的二進制位為 1。例如，${\displaystyle abc'}$ 對應的二進制序列是（${\displaystyle 110_{2}}$），因此，其索引是數字 6，這個極小項表達式寫作 ${\displaystyle m_{6}}$。與之相似，三個變量的${\displaystyle m_{0}}$是${\displaystyle a'b'c'}$（${\displaystyle 000_{2}}$），而${\displaystyle m_{7}}$則是${\displaystyle abc}$（${\displaystyle 111_{2}}$）。

函數等價

因為極小項由各變量的邏輯與組合而成，所以只有當所有含有邏輯非的變量取值都為0，且所有不含邏輯非的變量取值都為 1，該極小項才會輸出 1。例如，極小項${\displaystyle m_{5}=ab'c}$，只在 a 和 c 都為 1 而 b 為 0 時輸出 1。

如果你給出一個邏輯函數的真值表，就可以把這個函數寫為"積之和"(由極小項OR起來的序列)。像這樣組合出來的布爾表達式，其中任何一個極小項輸出 1 時也輸出 1，對其餘輸入其輸出都是 0。由於每個極小項都只對一個輸入輸出 1，所以這個組合可以唯一地表示任何布爾函數。這是析取範式的特殊形式。例如，如果給出真值表

例：布爾函數${\displaystyle f}$的真值表

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle f(a,b)}$
0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	0

觀察到${\displaystyle f}$的輸出僅在第一行和第三行為 1，所以我們可以把${\displaystyle f}$寫為極小項${\displaystyle m_{0}}$和${\displaystyle m_{2}}$之和。

驗證：

${\displaystyle f(a,b)=m_{0}+m_{2}=(a'b')+(ab')}$

通過直接計算，結果和這個函數的真值表是一樣的。

布爾函數表示為極小項之和的形式，叫做其主析取範式或極小項規範形式。

極大項

極大項是極小項的對偶。其中各變量（或其邏輯否定）由邏輯或運算符不重複地組合而成。 例如：

${\displaystyle a+b'+c}$

${\displaystyle a'+b+c}$

${\displaystyle n}$個變量同樣也有${\displaystyle 2^{n}}$個可能的極大項。

索引極大項

極大項的索引與極小項的相反：含邏輯非的變量對應的二進制位為 1，不含的對應二進制位為 0。例如，極大項${\displaystyle a'+b'+c}$的索引為 6（${\displaystyle 110_{2}}$），記作${\displaystyle M_{6}}$。同樣，三個變量的${\displaystyle M_{0}}$為${\displaystyle a+b+c}$，${\displaystyle M_{0}}$為${\displaystyle a'+b'+c'}$。

對偶化

可以輕易的使用德·摩根定律驗證，極小項的補是同索引的極大項。例如

${\displaystyle m_{2}'=M_{2}}$

${\displaystyle (a+b')'=a'b}$

函數等價

明顯的，極大項 n 現在對這個邏輯函數的第 n+1 個唯一的函數輸入給出假值。例如，極大項 5，a'+b+c'，只在 a 和 c 都為真而 b 為假的時候是假的 - 輸入為 a = 1, b = 0, c = 1 得到 0。

如果你給出一個邏輯函數的真值表，就可以把這個函數寫為「和之積」（由極大項AND起來的序列）。它是合取範式的特殊形式。例如，如果給出真值表

例：布爾函數${\displaystyle f}$的真值表

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle f(a,b)}$
0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	0

觀察到${\displaystyle f}$的輸出僅在第二行和第四行為 0，所以我們可以把${\displaystyle f}$寫為極大項${\displaystyle m_{1}}$和${\displaystyle m_{3}}$之積。

驗證：

${\displaystyle f(a,b)=M_{1}M_{3}=(a+b')(a'+b')}$

通過直接計算，結果和這個函數的真值表是一樣的。

布爾函數表示為極大項之積的形式，叫做其主合取範式或極大項規範形式。

結果總結

所有邏輯函數都可以用「極小項之和」或「極大項之積」的規範形式表達。除了可以用直接和簡單的代數形式表達複雜的邏輯函數之外，規範形式還允許把這些函數強力分析成最簡化的形式，這對於數字電路的最小化是非常重要的。

參見

• 布爾代數主題列表
• Quine-McCluskey算法
• 合取範式
• 析取範式