自我相關函數

自相關（英語：Autocorrelation），也叫序列相關^[1]，是一個信號於其自身在不同時間點的互相關。非正式地來說，它就是兩次觀察之間的相似度對它們之間的時間差的函數。它是找出重複模式（如被噪聲掩蓋的周期信號），或識別隱含在信號諧波頻率中消失的基頻的數學工具。它常用於信號處理中，用來分析函數或一系列值，如時域信號。

卷積、互相關和自相關的圖示比較。運算涉及函數${\displaystyle f}$，並假定${\displaystyle f}$的高度是1.0，在5個不同點上的值，用在每個點下面的陰影面積來指示。

上面：100個隨機數序列的圖，其中隱含了一個正弦函數。下面：自相關函數產生的相關圖（英語：correlogram）顯示出的正弦函數。

定義

自相關函數在不同的領域的定義不完全等價。在某些領域，自相關函數等同於自協方差。

統計學

將一個有序的隨機變量序列與其自身相比較，這就是自相關函數在統計學中的定義。每個不存在相位差的序列，都與其自身相似，即在此情況下，自相關函數值最大。如果序列中的組成部分相互之間存在相關性（不再是隨機的），則由以下相關值方程所計算的值不再為零，這樣的組成部分為自相關。

${\displaystyle R(k)={\frac {E[(X_{i}-\mu _{i})(X_{i+k}-\mu _{i+k})]}{\sigma ^{2}}}}$

${\displaystyle E}$ ......... 期望值。

${\displaystyle X_{i}}$ ........ 在t(i)時的隨機變量值。

${\displaystyle \mu _{i}}$ ........ 在t(i)時的預期值。

${\displaystyle X_{i+k}}$ .... 在t(i+k)時的隨機變量值。

${\displaystyle \mu _{i+k}}$ .... 在t(i+k)時的預期值。

${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ......... 為方差。

所得的自相關值R的取值範圍為[-1,1],1為最大正相關值，-1則為最大負相關值，0為不相關。

信號處理

在信號處理中，上面的定義通常不進行歸一化，即不減去均值並除以方差。當自相關函數由均值和方差歸一化時，有時會被稱作自相關係數。^[2]

給定一個信號 ${\displaystyle f(t)}$，連續自相關函數 ${\displaystyle R_{ff}(\tau )}$ 通常定義為 ${\displaystyle f(t)}$ 與其自身延遲 ${\displaystyle \tau }$ 的連續互相關。

${\displaystyle R_{ff}(\tau )=(f*g_{-1}({\overline {f}}))(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(u+\tau ){\overline {f}}(u)\,{\rm {d}}u=\int _{-\infty }^{\infty }f(u){\overline {f}}(u-\tau )\,{\rm {d}}u}$

其中 ${\displaystyle {\overline {f}}}$ 表示共軛複數，${\displaystyle g_{-1}}$ 是對函數 ${\displaystyle f}$ 操作的一個函數，定義為 ${\displaystyle g_{-1}(f)(u)=f(-u)}$ 而 ${\displaystyle *}$ 表示卷積。

對於實值函數（英語：real function），${\displaystyle {\overline {f}}=f}$。

注意積分中的參數 ${\displaystyle u}$ 是一個虛變量，並且只對計算積分有用。沒有具體含義。

離散信號 ${\displaystyle y(n)}$ 的延遲為 ${\displaystyle l}$ 的離散自相關 ${\displaystyle R}$ 是

${\displaystyle R_{yy}(l)=\sum _{n\in Z}y(n)\,{\overline {y}}(n-l).}$

上述定義在信號平方可積或平方可和（即有限能量）的前提下才成立。但「永遠持續」的信號被處理成隨機過程，就需要使用基於期望值的與之不同的定義。對於寬平穩隨機過程，自相關函數定義為

${\displaystyle R_{ff}(\tau )=\operatorname {E} \left[f(t){\overline {f}}(t-\tau )\right]}$

${\displaystyle R_{yy}(l)=\operatorname {E} \left[y(n)\,{\overline {y}}(n-l)\right].}$

對於非平穩過程，這些也會是 ${\displaystyle t}$ 或者 ${\displaystyle n}$ 的函數。

對於還是可遍歷（英語：Ergodic process）的過程, 期望會被換成時間平均的極限。各態歷經過程的自相關函數有時定義為或等於^[2]

${\displaystyle R_{ff}(\tau )=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t+\tau ){\overline {f}}(t)\,{\rm {d}}t}$

${\displaystyle R_{yy}(l)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}y(n)\,{\overline {y}}(n-l).}$

這些定義的優點是，它們合理定義了周期函數的單變量結果，甚至當那些函數不是平穩各態歷經過程時。

此外，「永遠持續」的信號可以通過短時距自相關函數使用有限時間積分來處理（相關過程參見短時距傅立葉變換。）

多維自相關定義類似。例如，在三維中， 平方可和的離散信號的自相關就會是

${\displaystyle R(j,k,\ell )=\sum _{n,q,r}x_{n,q,r}\,x_{n-j,q-k,r-\ell }.}$

若在求自相關函數之前從信號中減去均值，得出的函數通常稱為自協方差函數。

自相關函數的性質

以下以一維自相關函數為例說明其性質，多維的情況可方便地從一維情況推廣得到。

• 對稱性：從定義顯然可以看出R(i) = R(−i)。連續型自相關函數為偶函數

當f為實函數時，有：

${\displaystyle R_{f}(-\tau )=R_{f}(\tau )\,}$

當f是複函數時，該自相關函數是厄米函數，滿足：

${\displaystyle R_{f}(-\tau )=R_{f}^{*}(\tau )\,}$

其中星號表示共軛。

• 連續型實自相關函數的峰值在原點取得，即對於任何延時 τ，均有 ${\displaystyle |R_{f}(\tau )|\leq R_{f}(0)}$。該結論可直接有柯西-施瓦茨不等式得到。離散型自相關函數亦有此結論。

• 周期函數的自相關函數是具有與原函數相同周期的函數。

• 兩個相互無關的函數（即對於所有 τ，兩函數的互相關均為0）之和的自相關函數等於各自自相關函數之和。

• 由於自相關函數是一種特殊的互相關函數，所以它具有後者的所有性質。

• 連續時間白噪聲信號的自相關函數是一個δ函數，在除 τ = 0 之外的所有點均為0。

• 維納-辛欽定理表明，自相關函數和功率譜密度函數是一對傅里葉變換對：

${\displaystyle R(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)e^{j2\pi f\tau }\,df}$

${\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau .}$

• 實值、對稱的自相關函數具有實對稱的變換函數，因此此時維納-辛欽定理中的復指數項可以寫成如下的餘弦形式：

${\displaystyle R(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cos(2\pi f\tau )\,df}$

${\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R(\tau )\cos(2\pi f\tau )\,d\tau .}$

自相關函數舉例

白噪聲的自相關函數為δ函數：

${\displaystyle r_{nn}=\mathbb {E} \{n(t)n(t-\tau )\}=\delta (\tau )}$

應用

• 信號處理中，自相關可以提供關於重複事件的信息，例如音樂節拍（例如，確定節奏）或脈衝星的頻率（雖然它不能告訴我們節拍的位置）。另外，它也可以用來估計樂音的音高。

參考文獻

1. Zovko, Ilija I. Topics in Market Microstructure. Amsterdam University Press. 2008-09-01. ISBN 9789056295387 （英語）.
2. Dunn, Patrick F. Measurement and Data Analysis for Engineering and Science. New York: McGraw–Hill. 2005. ISBN 0-07-282538-3.