策梅洛集合論

策梅洛集合論（德語：Zermelo-Mengenlehre），設立自恩斯特·策梅洛在1908年的重要論文，它是現代集合論的祖先。它與它的後代有特定的差別，經常被誤解並經常被誤引用。本文架設最初的公理，帶有最初的文本（從德文譯成了英文）和編號。

策梅洛集合論的公理

公理I。外延性公理（Axiom der Bestimmtheit）：「如果一個集合M的所有元素也是N的元素，且反之亦然...則M = N。簡要的說，所有集合由它所包含的元素確定」。
公理II。基本集合公理（Axiom der Elementarmengen）：「存在這樣的一個集合，即空集 $\varnothing$ ，它根本不包含元素。如果a是域的任何元素，存在一個集合{a}包含a並只包含a作為元素。如果a和b是域的任何兩個元素，總是存在一個集合{a, b}包含a和b作為元素，而不包含不同於它們二者的對象x」。參見空集公理、對集公理。
公理III。分離公理（Axiom der Aussonderung）：「只要命題函數–(x)對於一個集合M的所有元素是明確的，則存在M一個子集M' ，它精確地包含M中使–(x)為真的那些元素作為元素」。
公理IV。冪集公理（Axiom der Potenzmenge）：「對於所有集合T都對應着一個集合T' ，T的冪集，精確的包含T的所有子集作為元素」。
公理V。併集公理（Axiom der Vereinigung）：「對於所有集合T都對應着一個集合∪T，T的併集，精確的包含T的元素們的所有元素作為元素」。
公理VI。選擇公理（Axiom der Auswahl）：「如果T是其元素都是不同於 $\varnothing$ 並且相互無交的集合們的集合，它的併集∪T包含至少一個子集S₁有一個且只有一個元素公共於T的每個元素」。
公理VII。無窮公理（Axiom des Unendlichen）：「在域中存在至少一個集合Z包含空集作為一個元素，並且對於它的每個元素a都對應着形如{a}的進一步元素而構成的，換句話說，對於它的每個元素a它也包含對應的集合{a}作為元素」。

與標準集合論的聯繫

公認的標準集合論是策梅洛-弗蘭克爾集合論。其中沒有「基本集合公理」的完全對應者。（後來證實單元素集合可以從所謂的「對集公理」推導出來。如果a存在，a和a存在，所以{a,a}存在。通過外延性{a,a} = {a}。）空集公理已經被無窮公理所假定，現在不被包括為它的一部分了。

這裡的公理不包括正規公理和替代公理。它們是Thoralf Skolem在1922年基於同一年早些時候Adolf Fraenkel的工作而增加的。

在現代ZFC系統中，在分離公理中提及的「命題函數」被解釋為「可用帶有參數的一階公式定義的任何性質」。「一階公式」的概念在1904年策梅洛發表他的公理的時候是未知的，而他後來拒絕這種解釋因為太受限制了。

在通常的ZFC集合論的累積層次V_α（對於序數α）中，對於大於第一個無限序數ω的極限序數α的集合V_α之一形成了策梅洛集合論的模型。所以策梅洛集合論的相容性是ZFC集合論的一個定理。策梅洛的公理不允許很多無限基數的存在；例如，在策梅洛集合論的模型V_ω+ω中對於有限序數α只有無限基數 $\aleph _{\alpha }\$ 。

無窮公理現在通常被修改為斷言第一個無限馮·諾伊曼序數 $\omega \$ 的存在性；有意思的是觀察到最初的策梅洛公理不能證明這個集合的存在，而修改後的策梅洛公理也不能證明策梅洛的無窮公理。策梅洛的公理（最初的或修改後的）不能證明 $V_{\omega }\$ 作為一個集合的存在性，也不能證明帶有無限標定（index）的累積層次的任何階的存在性。

策梅洛論文的目標

介紹聲稱了集合論學科的真正存在性，「它好像受到從它的原理推導出的特定矛盾或「自相矛盾」的威脅–這些原理必然支配我們的思維–而完全滿意的解決似乎仍未找到。」策梅洛當然指的是羅素悖論。

他說希望展示康托爾和戴德金的最初理論如何被簡約到很少的定義和一些原理或公理。他說他仍未能夠證明這些公理是相容的。

分離公理

策梅洛註解他的系統中的公理III負責消除悖論。它不同於康托爾最初的定義。

集合不能用任何任意的邏輯上可定義的概念來獨立的定義。它們必須被「分離」為已經「給出」的集合的子集。他說這消除了矛盾性的想法如「所有集合的集合」或「所有序數的集合」。

康托爾定理

策梅洛的論文因第一次提及康托爾定理而著名。它嚴格的憑藉了集合論的概念，因此不完全同於最初的康托爾對角論證法。

引用

Zermelo, Ernst. "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I". Mathematische Annalen, 65: 261-281, 1908. English translation, "Investigations in the foundations of set theory" in Heijenoort 1967, pages 199-215.