等化子

在數學的範疇論分支，若干個函數的等化子（英語：equaliser）是使其值相等的參數的集合。換言之，兩個函數${\displaystyle f,g}$的等化子，是方程${\displaystyle f(x)=g(x)}$的解集（英語：solution set）。僅得兩個函數時，也稱為其差核，因為等於兩個函數之差的核（英語：Kernel (category theory)）。

定義

設${\displaystyle X}$與${\displaystyle Y}$為集合。又設${\displaystyle f,g}$為從${\displaystyle X}$至${\displaystyle Y}$的函數。則${\displaystyle f}$與${\displaystyle g}$的等化子為${\displaystyle X}$中所有滿足${\displaystyle f(x)=g(x)}$的元素${\displaystyle x}$的集合，以符號表示為：

${\displaystyle \operatorname {Eq} (f,g):=\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}.}$

等化子可以表示成${\displaystyle \mathrm {Eq} (f,g)}$或類似的符號，如改成小楷${\displaystyle \mathrm {eq} }$。有時非正式地寫成${\displaystyle \{f=g\}}$。

上述定義用到兩個函數${\displaystyle f,g}$，但其實不必限制為兩個函數，甚至不必為有限多個函數。一般而言，若${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是一族函數，從${\displaystyle X}$映向${\displaystyle Y}$，則${\displaystyle {\mathcal {F}}}$的元素的等化子，是使${\displaystyle f(x)}$對所有${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$皆相等的元素${\displaystyle x\in X}$的集合。以符號表示：

${\displaystyle \operatorname {Eq} ({\mathcal {F}}):=\{x\in X\mid \forall f,g\in {\mathcal {F}},\;f(x)=g(x)\}.}$

若${\displaystyle {\mathcal {F}}}$可以寫成${\displaystyle \{f,g,h,\ldots \}}$，則等化子亦記為${\displaystyle \mathrm {Eq} (f,g,h,\ldots )}$。此情況下，亦可非正式地寫成${\displaystyle \{f=g=h=\cdots \}}$。

作為一般定義的退化，考慮${\displaystyle {\mathcal {F}}}$為單元集${\displaystyle \{f\}}$。由於${\displaystyle f(x)}$必然等於自己，等化子等於整個定義域${\displaystyle X}$。更退化的情況下，設${\displaystyle {\mathcal {F}}}$為空集。則等化子仍為全個定義域${\displaystyle X}$，因為條件的全稱量化命題為空真命題（英語：vacuously true）。

差核

二元的等化子（即兩個函數的等化子）又稱差核（英語：difference kernel）。${\displaystyle f,g}$的差核可以記為${\displaystyle \mathrm {DiffKer} (f,g)}$、${\displaystyle \mathrm {Ker} (f,g)}$、${\displaystyle \mathrm {Ker} (f-g)}$。最後一種寫法表明名稱的由來，是兩個函數之差的核，而且抽象代數中，該寫法亦最常用。此外，單一個函數${\displaystyle f}$的核，可以作為差核${\displaystyle \mathrm {Eq} (f,{\boldsymbol {0}})}$找到，其中${\displaystyle {\boldsymbol {0}}}$表示取零值的常數函數。

以上假設核的意義如同抽象代數中，解作某函數作用下，${\displaystyle 0}$的原像，但在範疇論定義中，並不一定。

範疇論

等化子可以用泛性質定義，以將此概念從集合範疇推廣到任意的範疇。

一般地，在任意範疇中，設${\displaystyle X,Y}$為物件，而${\displaystyle f,g}$為自${\displaystyle X}$往${\displaystyle Y}$的態射。此兩件物件及兩個態射組成該範疇的一幅圖，而${\displaystyle f,g}$的等化子，則是該圖表的極限。

具體而言，等化子是物件${\displaystyle E}$與態射${\displaystyle \mathrm {eq} :E\to X}$的整體，滿足${\displaystyle f\circ eq=g\circ eq}$，且對任意物件${\displaystyle O}$與態射${\displaystyle m:O\to X}$，若有${\displaystyle f\circ m=g\circ m}$，則存在唯一的態射${\displaystyle u:O\to E}$，使得${\displaystyle \mathrm {eq} \circ u=m}$。

其中態射${\displaystyle m:O\rightarrow X}$滿足的條件，即${\displaystyle f\circ m=g\circ m}$，又稱為等化（英語：equalise）${\displaystyle f}$與 ${\displaystyle g}$。^[1]

在泛代數範疇，例如有定義差核的範疇，或集合範疇${\displaystyle \mathbf {Set} }$，物件${\displaystyle E}$總可以按原始定義（即${\displaystyle \{x:f(x)=g(x)\}}$）選取，而相應的態射${\displaystyle \mathrm {eq} }$則是${\displaystyle E}$作為${\displaystyle X}$子集的包含映射。

可以直接推廣到多於兩支態射的情況，只要用在圖中，添加更多支態射，然後再取極限便可。同樣，只有一支態射的退化情況也很直接，而${\displaystyle \mathrm {eq} }$可以取為任何由${\displaystyle E}$至${\displaystyle X}$的同構。

但是，無態射的退化情況較為特殊，要較仔細畫出正確的圖。一開始，可能會嘗試畫出物件${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$，然後不加任何態射。然而，此為不正確，因為該圖的極限，是${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$的範疇論積，而非所求的等化子（應為${\displaystyle X}$）。正確觀念是，等化子的定義，與定義域${\displaystyle X}$密切相關（例如在集合範疇的情況下，${\displaystyle X}$出現在定義式中），但與${\displaystyle Y}$的關聯則僅在於${\displaystyle Y}$是圖中態射的陪域。 所以，若無態射，則${\displaystyle Y}$不必出現，故圖僅有${\displaystyle X}$。此圖的極限，是任何${\displaystyle E}$與${\displaystyle X}$間的同構。

可以證明，任意範疇中的等化子，皆為單態射。反之，若逆命題成立，即單態射皆為某兩支態射的等化子，則該範疇（在單態射意義下）稱為正則（英語：regular）。更一般地，任意範疇中，正則單態射是某族態射的等化子。也有作者更嚴格，要求其為某兩個態射的二元等化子。然而，若所考慮的範疇完備（英語：complete category），則兩種定義一致。

範疇論中，也有差核的概念。術語「差核」在範疇論各處也常用作描述二元等化子。預可加範疇中（於阿貝爾群範疇（英語：Category of abelian groups）上濃縮（英語：enriched category）的範疇，粗略而言，即每個態射集${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}$皆具阿貝爾群結構），「差核」一詞能逐字理解，因為兩支（相同端點的）態射之差有定義，即${\displaystyle \mathrm {Eq} (f,g)=\mathrm {Ker} (f-g)}$，其中${\displaystyle \mathrm {Ker} }$表示範疇論核（英語：kernel (category theory)）。

若範疇有拉回（纖維積）及積，則有等化子。

參見

• 餘等化子（英語：Coequalizer），等化子的對偶（英語：dual (category theory)）概念，將定義中所有態射的方向反轉而得。
• 重合理論（英語：Coincidence theory），不動點理論的推廣，拓撲學中，研究拓撲空間等化子的理論。
• 拉回，可以用等化子和範疇論積構造的一類極限。

參考文獻

1. Barr, Michael; Wells, Charles. Category theory for computing science [電腦科學用的範疇論] (PDF). 1998: 266 [2013-07-20]. （原始內容 (PDF)存檔於2016-03-04） （英語）.

外部鏈結

• nLab的Equalizer條目

• 一個互動網站，給出有限集範疇中的等化子例子。由Jocelyn Paine編寫。