立方和

立方和是數學公式的一種，它屬於因式分解、乘法公式及恆等式，被普遍使用。立方和是指一個立方數，加上另一個立方數，即是它們的總和。公式如下：^[1]

${\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})=(a\pm b)^{3}\mp 3ab(a\pm b)}$

立方和的簡單圖解

立方和被因式分解後，答案分別包含二項式及三項式，與立方差相同。

驗證

主驗證

驗證此公式，可透過因式分解，首先設以下公式：

${\displaystyle a^{2}b-a^{2}b+ab^{2}-ab^{2}=0\,\!}$

然後代入：

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!}$

透過因式分解，可得：

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$

這樣便可驗證：${\displaystyle a^{3}+b^{3}\equiv (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$

和立方驗證

透過和立方可驗證立方和的原理：

${\displaystyle (x+y)^{3}\,\!}$

${\displaystyle =x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,\!}$

那即是只要減去${\displaystyle 3x^{2}y}$及${\displaystyle 3xy^{2}}$便可得到立方和，可設：

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!}$

右邊的方程 ${\displaystyle =(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!}$

運用因式分解的方法：

${\displaystyle =(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!}$

${\displaystyle =(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!}$

${\displaystyle =(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!}$

${\displaystyle =(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}$

這樣便可驗證出：${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}$

幾何驗證

圖象化${\displaystyle a^{3}+b^{3}}$

透過繪立體的圖像，也可驗證立方和。^[2] 根據右圖，設兩個立方，總和為：

${\displaystyle x^{3}+y^{3}\,\!}$

把兩個立方體對角貼在一起，根據虛線，可間接得到：

${\displaystyle (x+y)^{3}\,\!}$

要得到${\displaystyle x^{3}+y^{3}}$，可使用${\displaystyle (x+y)^{3}}$的空白位置。該空白位置可分割為3個部分：

• ${\displaystyle x\times y\times (x+y)}$
• ${\displaystyle x\times (x+y)\times y}$
• ${\displaystyle (x+y)\times y\times x}$

把三個部分加在一起，便得：

${\displaystyle =xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)\,\!}$

${\displaystyle =3xy(x+y)\,\!}$

之後，把${\displaystyle (x+y)^{3}}$減去它，便得： ${\displaystyle =(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!}$ 上公式發現兩個數項皆有一個公因子，把它抽出，並得：

${\displaystyle =(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!}$

${\displaystyle (x+y)^{2}}$可透過和平方公式，得到：

${\displaystyle =(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!}$

${\displaystyle =(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}$

這樣便可證明${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}$

反驗證

透過${\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$也可反驗證立方和。

${\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$

${\displaystyle =a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$

${\displaystyle =a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!}$

${\displaystyle =a^{3}+b^{3}\,\!}$

以上計算方法亦可簡化為一個表格：

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$

x)	${\displaystyle +a^{2}}$	${\displaystyle -ab}$	${\displaystyle +b^{2}}$
${\displaystyle +a}$	${\displaystyle +a^{3}}$	${\displaystyle -a^{2}b}$	${\displaystyle +ab^{2}}$
${\displaystyle +b}$	${\displaystyle +a^{2}b}$	${\displaystyle -ab^{2}}$	${\displaystyle +b^{3}}$

這樣便可證明${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$

立方差

立方差也可以使用立方和來驗證，例如：

${\displaystyle 125u^{3}-343v^{3}\,\!}$

把兩個數項都轉為立方數：

${\displaystyle =(5u)^{3}-(7v)^{3}\,\!}$

運用負正得負，可得：

${\displaystyle =(5u)^{3}+(-7v)^{3}\,\!}$

然後運用立方和，可得：

${\displaystyle =\left[5u+(-7v)\right]\left[25u^{2}-(5u)(-7v)+(-7v)^{2}\right]}$

${\displaystyle =(5u-7v)(25u^{2}+35uv+49v^{2})\,\!}$

這個方法更可驗證到立方差的公式是${\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!}$

兩組立方和的數

有些整數可以有兩個立方和組合，^[3] 而最少的，已是過千的1729。它是兩組不同的立方和：

${\displaystyle 1729=1^{3}+12^{3}\,\!}$

${\displaystyle 1729=9^{3}+10^{3}\,\!}$

下一個同樣有兩個立方和組合的整數是4104：

${\displaystyle 4104=9^{3}+15^{3}\,\!}$

${\displaystyle 4104=2^{3}+16^{3}\,\!}$

首十個兩組立方和的數：1729、4104、13832、20683、32832、39312、40033、46683、64232、65728

參見

• 幾何學
• 工程學

參考文獻

1. Factorization of x^3 + y^3. Queen's College On The Web. [2018-10-16]. （原始內容存檔於2021-02-06） （英語）.
2. History Dudeney Canterbury puzzles elliptic curves. [1994-11-12]. 原始內容存檔於2007-08-08 （英語）. 請檢查|access-date=中的日期值 (幫助)
3. The Hardy-Ramanujan Number. Jimloy.com. [2018-01-16]. （原始內容存檔於2013-05-28） （英語）.