積 (範疇論)

範疇論中，積（或直積）的概念提取了集合的笛卡兒積、群的積、環的積、拓撲空間的積等概念的共性。本質上講，一組對象的積是到這些對象都有態射的對象中最具代表性的。

定義

給定範疇C。C中一對象集{X_i | i ∈ I}的積為滿足下面泛性質的偶(X, (π_i))，其中X為一對象，π_i : X → X_i（i ∈ I）為一組態射：對任意對象Y及其到X_i的一組態射f_i，存在唯一的態射f : Y → X滿足，對任意i ∈ I，f_i = π_i f。即，對任意i，下圖可交換。

Universal product of the product

若該組對象僅有兩個，積通常用X₁×X₂來表示。上圖變為：

Universal product of the product

此時，此唯一態射f也常表示為<f₁,f₂>。

討論

積為範疇論中的一種極限。積也即C中離散子範疇的極限。積不一定存在。但若存在，則由其定義易知其在同構的意義下唯一。

空積（I為空時所得的積）即終對象。

若C中對任意基於I的對象集均存在積，則該積也可以看做一個從C^I到C的函子。

集合{X_i}的積通常記為∏_i X_i。態射π_i也稱為自然投影。如下自然同構成立：

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(Y,\prod _{i\in I}X_{i}\right)\simeq \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} _{C}(Y,X_{i})}$

（Hom_C(U,V)表示C中從U到V的態射集；左側的積為範疇意義上的積、右側的為集合的笛卡兒積）。

若I為有限集，例如I = {1,...,n}，則X₁,...,X_n的積通常記為X₁×...×X_n。

設C存在有限積，採用上述積函子的定義，並用1表示C的終對象（空積），則下列自然同構成立：

${\displaystyle X\times (Y\times Z)\simeq (X\times Y)\times Z\simeq X\times Y\times Z}$

${\displaystyle X\times 1\simeq 1\times X\simeq X}$

${\displaystyle X\times Y\simeq Y\times X}$

上述為構成一個交換幺半群的條件。

舉例

• Set的積為集合的笛卡兒積。
• 由偏序構成的範疇：一組元素的積為該組元素的最大下界。

參見

• 泛性質
• 上積 – 積的對偶概念
• 極限與上極限
• Equalizer
• 反極限
• 笛卡兒閉範疇