最大下界

在數學中，某個集合 X 的子集 E 的下確界(英語：infimum 或 infima，記為 inf E )是小於或等於的 E 所有其他元素的最大元素，其不一定在 E 內。所以還常用術語最大下界（簡寫為 glb 或 GLB）。在數學分析中，實數的下確界是非常重要的常見特殊情況。但這個定義，在更加抽象的序理論的任意偏序集合中，仍是有效的。

下確界是上確界概念的對偶。

實數集合的下確界

在數學分析中，實數的子集 S 的下確界或最大下界記為 inf(S)，定義為小於等於在 S 中的所有數的最大實數。如果沒有這樣的數存在（因為 S 沒有下界），則我們定義 inf(S) = −∞。如果 S 是空集，我們定義 inf(S) = ∞（參見擴展的實數軸）。

實數的一個重要性質是，任何實數集都有下確界（實數的任何有界非空子集都在非擴展的實數軸中有下確界）。

例子：

${\displaystyle \inf\{1,2,3\}=1.}$

${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.}$

${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} :x^{3}>2\}=2^{1/3}.}$

${\displaystyle \inf\{(-1)^{n}+1/n:n=1,2,3,\dots \}=-1.}$

如果一個集合有最小元素，如同第一個例子，則這個最小元素就是這個集合的下確界。如後三個例子展示的，一個集合的下確界不一定屬於這個集合。

下確界的概念和上確界在下列意義下是對偶的

${\displaystyle \inf(S)=-\sup(-S)}$，

這裡 ${\displaystyle -S=\{-s|s\in S\}}$。

一般的說，為了證明 inf(S) ≥ A，只需要證明對於所有 S 中的 x 有 x ≥ A。證明 inf(S) ≤ A ，則需：對於任何 ε > 0，都存在 S 中的一個元素 x 使得 x ≤ A + ε（當然，如果 S 有一個元素 x 使 x ≤ A，命題立即成立）。

參見：下極限。

在偏序集合內的下確界

下確界的定義容易推廣到任何偏序集合的子集上，並在序理論中有重要意義。在序理論，特別是格理論中，最大下界也叫做交（英語：meet)。

形式的說，偏序集合（P，≤）的子集 S 的下確界是 P 的一個元素 l 使得

1. 對於所有 S 中的 x 有 l ≤ x，
2. 對於任何 P 中的 p，如果對於所有 S 中的 x 都有 p ≤ x, 則 p ≤ l。

如果這樣的元素存在，則其必然唯一，但是它不一定存在。因此已知特定下確界存在的序就特別有價值。詳情請參見完備性（英語：Completeness (order theory)）。

外部連結

• infimum （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (PlanetMath)

參見

• 偏序集
• 下界
• 最大元
• 完全格
• 最小上界
• 本性下確界