積分符號內取微分

積分符號內取微分（英語：Leibniz integral rule，萊布尼茨積分法則）是一個在數學的微積分領域中很有用的運算。它是說，給定如下積分

${\displaystyle F(x,a(x),b(x))=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt}$,

如果在${\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}\,}$時

${\displaystyle f(x,t)\,}$ 與 ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\,}$ 對${\displaystyle t\,}$ 和 ${\displaystyle x\,}$ 在${\displaystyle (t,x)\,}$ 平面連續, ${\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x)\,}$, ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}\,}$, 且若對於${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}\,}$, ${\displaystyle a(x)\,}$ 與 ${\displaystyle b(x)\,}$ 及其導數連續，

那麼當 ${\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}\,\,}$時， 根據全微分公式和微積分基本定理， 該積分對${\displaystyle x}$的導數為

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\,F(x,a(x),b(x))&=\left({\frac {\partial F}{\partial b}}\right){\frac {db}{dx}}+\left({\frac {\partial F}{\partial a}}\right){\frac {da}{dx}}+{\frac {\partial F}{\partial x}}\\&=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,\end{aligned}}}$

注意${\displaystyle -f(x,a(x))\,a'(x)}$項的負號來源於對積分下限求導。

如果 ${\displaystyle a(x)}$ 和 ${\displaystyle b(x)}$ 是常數而不是 ${\displaystyle x}$ 的 函數，那麼此時的特殊情況可看做交換積分和求導的順序：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.}$

高維情況

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F({\vec {\textbf {x}}},t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}\,F({\vec {\textbf {x}}},t)\,dV+\int _{\partial D(t)}\,F({\vec {\textbf {x}}},t)\,{\vec {\textbf {v}}}\cdot {\vec {\textbf {n}}}\,dA,\,}$

定理的證明

引理1:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x\right)=f(b),\qquad {\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x\right)=-f(a).}$

證明:由微積分基本定理的第一部分，加上實際的推導上，偏微分相當於將其他變數視為常數做微分，這樣就有

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x\right)&=f(b)\\{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x\right)&=-{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{b}^{a}f(x)\;\mathrm {d} x\right)\\&=-f(a)\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \Box }$

引理2:

假設 a 和 b 是常數, f(x) 涉及常參數 α 的積分，但會形成不同積分.假設函數 f(x, α) 在緊緻集 {(x, α) : α₀ ≤ α ≤ α₁ and a ≤ x ≤ b} 上連續, f 對 α 的偏導 f_α(x, α) 存在且連續, 定義函數${\displaystyle \psi (\alpha )}$ (這裡將a和b看做是與 α 無關的常數，即a和b不隨 α 的增大而增大 ):

${\displaystyle \psi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\;\mathrm {d} x.}$

${\displaystyle \psi }$ 可以對 ${\displaystyle \alpha }$ 在積分符號內取微分,即

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\,f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x.\,}$

證明:由海涅－康托爾定理，函數${\displaystyle f(x,\alpha )}$在集合中一致連續. 即對任意 ε > 0 ，存在 Δα 使得對任意 x ∈ [a, b]，均有:

${\displaystyle |f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )|<\varepsilon .}$

另一方面:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \psi &=\psi (\alpha +\Delta \alpha )-\psi (\alpha )\\&=\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\;\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}\left(f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )\right)\;\mathrm {d} x\\&\leq \varepsilon (b-a)\end{aligned}}}$

因此 ${\displaystyle \psi (\alpha )}$ 是連續函數.

同理， 如果 ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha }}\,f(x,\alpha )}$ 存在且連續, 則對任意 ε > 0 存在 Δα ，使得:

${\displaystyle \forall x\in [a,b]\quad \left|{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}-{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\right|<\varepsilon .}$

因此,

${\displaystyle {\frac {\Delta \psi }{\Delta \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\;\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}{\frac {\partial \,f(x,\alpha )}{\partial \alpha }}\,\mathrm {d} x+R}$

這裡

${\displaystyle |R|<\int _{a}^{b}\varepsilon \;\mathrm {d} x=\varepsilon (b-a).}$

令 ε → 0 且 Δα → 0, 從而有,

${\displaystyle \lim _{{\Delta \alpha }\rightarrow 0}{\frac {\Delta \psi }{\Delta \alpha }}={\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\,f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x.\,}$

證畢.

現在給出定理的證明.

證明:

定義函數${\displaystyle \varphi (\alpha )}$，有

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x,\alpha )\;\mathrm {d} x=\varphi (\alpha ),}$

這裡a 與 b 是關於 α 的函數，隨α的增加分別增加 Δa 和 Δb,即當 α 增加 Δα時,有

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x\,-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\;\mathrm {d} x\,\\&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\;\mathrm {d} x\\&=-\int _{a}^{a+\Delta a}\,f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\;\mathrm {d} x+\int _{b}^{b+\Delta b}\,f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x.\end{aligned}}}$

由積分中值定理得 ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x=(b-a)f(\xi ),}$ 這裡 a < ξ < b, 從而上式變為

${\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\;\mathrm {d} x+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha )}$

${\displaystyle =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\psi (\alpha +\Delta \alpha )-\psi (\alpha )+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha )}$.

上式除以 Δα, 令 Δα → 0, 此時 ξ₁ → a 且 ξ₂ → b,由引理2：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\,f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x}$

和引理1，得

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\,f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x+f(b,\alpha ){\frac {\partial b}{\partial \alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {\partial a}{\partial \alpha }}.}$

定理得證.

由富比尼定理證明

^[1]由富比尼定理,

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\left(\int _{c}^{y}\int _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial z}}(x,z)dxdz\right)={\frac {d}{dy}}\left(\int _{a}^{b}\int _{c}^{y}{\frac {\partial f}{\partial z}}(x,z)dzdx\right)}$

由微積分基本定理的第一形式^[2], 左邊等於

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx.}$

由微積分基本定理的第二形式^[3], 右邊等於

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\left(\int _{a}^{b}(f(x,y)-f(x,c))dx\right).}$

被積函數的第二部分${\displaystyle f(x,c)}$不含 y，所以它對 y 的導數是0，所以右邊等於

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\left(\int _{a}^{b}f(x,y)dx\right).}$

證畢

大眾文化

積分符號內取微分曾在已故的物理學家理查德·費曼的最暢銷的回憶錄《別鬧了，費曼先生！》（在「一個不同的工具箱」一章中）中提到過，他提到他是高中時從一本舊書《高等微積分》（1926年）中學到的，書的作者是弗雷德里克·S·伍茲（美國麻省理工學院數學系教授）。這種方法在費恩曼以後接受正規教育時很少被教授。而因為知道這種方法，使得費恩曼在普林斯頓大學讀研究生時能夠用其解一些困難的積分問題。《別鬧了，費曼先生！》中關於在積分符號內取微分方法的原文如下：

“

我始終沒有學會的是「圍道積分（contour integration）」。高中物理老師貝德先生給過我一本書，我會的所有積分方法，都是從這本書裡學到的。 　　事情是這樣的：一天下課之後，他叫我留下。「費曼」，他說，「你上課時話太多了，聲音又太大。我知道你覺得這些課太沉悶，現在我給你這本書。以後你坐到後面角落去好好讀這本書，等你全弄懂了之後，我才准你講話。」 　　於是每到上物理課時，不管老師教的是帕斯卡定律或是別的什麼，我都一概不理。我坐在教室的角落，念伍茲（woods）著的這本《高等微積分學》。貝德知道我念過一點《實用微積分》，因此他給我這本真正的大部頭著作——給大學二三年級學生念的教材。書內有傅立葉級數、貝塞爾函數、行列式、橢圓函數——各種我前所未知的奇妙東西。 　　那本書還教你如何對積分符號內的參數求微分。後來我發現，一般大學課程並不怎麼教這個技巧，但我掌握了它的用法，往後還一再地用到它。因此，靠着自修那本書，我做積分的方法往往與眾不同。 　　結果經常發生的是，我在麻省理工或普林斯頓的朋友被某些積分難住，原因卻是他們從學校學來的標準方法不管用。如果那是圍道積分或級數展開，他們都懂得怎麼把答案找出；現在他們卻碰壁了。這時我便使出「積分符號內取微分」的方法——這是因為我有一個與眾不同的工具箱。當其他人用光了他們的工具，還沒法找到解答時，便把問題交給我了！

”

另見

參考文獻

費曼積分法——積分符號內取微分：http://spaces.ac.cn/index.php/archives/1615/ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

1. 存档副本 (PDF). [2022-10-20]. （原始內容存檔 (PDF)於2017-10-31）.
2. ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{a}^{t}f(x)dx\right)=f(t)}$
3. ${\displaystyle \int _{a}^{b}F^{\prime }(x)dx=F(b)-F(a)}$