確定雙線性形式

在數學中，確定雙線性形式（Positive-definite bilinear form）是雙線性形式B使得

B(x, x)

在x不是0的時候有固定的符號（或正或負）。

要給出形式定義，設K是域R（實數）或C（複數）之一。假設V是在K上的向量空間，並且

B : V × V → K

是Hermitian形式的雙線性形式，在B(x, y)總是B(y, x)的復共軛的意義上。如果

B(x, x) > 0 ，則B被稱為正定

對於所有V中的非零x。如果B(x, x) ≥ 0對於所有x，B被稱為正半定。負定和負半定雙線性形式也類似的定義。如果B(x, x)取正和負值二者，它叫做不定的。

作為一個例子，設V=R²，並考慮雙線性形式

${\displaystyle B(x,y)=c_{1}x_{1}y_{1}+c_{2}x_{2}y_{2}}$

這裡的${\displaystyle x=(x_{1},x_{2})}$, ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2})}$，而${\displaystyle c_{1}}$和${\displaystyle c_{2}}$是常數。如果${\displaystyle c_{1}>0}$且${\displaystyle c_{2}>0}$，雙線性形式${\displaystyle B}$是正定的。如果這些常數中的一個是正數而其他的是零，則${\displaystyle B}$是正半定的。如果${\displaystyle c_{1}>0}$且${\displaystyle c_{2}<0}$，則${\displaystyle B}$是不定的。

給定一個Hermitian雙線性形式${\displaystyle B}$，函數

${\displaystyle Q(x)=B(x,x)}$

是二次形式。${\displaystyle B}$的確定性定義同${\displaystyle Q.}$的相應定義一樣。

在內積空間上的自伴隨算子A是正定的，如果

(x, Ax) > 0對於所有非零向量x。

參見

• 正定函數
• 正定矩陣