相交

在數學中，相交是兩個幾何圖形之間關係的一種。兩個圖形相交是指它們有公共的部分，或者說同時屬於兩者的點的集合不是空集。若兩個幾何圖形在某個地方有且只有一個交點，則可以稱為相切而不是相交。如果兩個圖形完全重合，則一般不稱為相交。

集合論中，兩個集合相交是指它們的交集不是空集。

直線的相交

在歐幾里得平面上，兩條直線要麼平行，要麼相交，要麼重合。這時歐幾里得第五公設的推論。相交的兩條直線恰好有一個交點。在非歐幾何中，按幾何特性（曲率），可以分為兩類。羅巴切夫斯基幾何中兩條直線要麼平行，要麼相交，但平行線不止一條。黎曼幾何中兩條直線總是相交。

三維空間或更高維空間中，兩條直線相交則必定共面。

圓的相交

歐幾里得幾何中，同一平面上的兩個圓之間的關係有四種：相離、相切、相容和相交。相離指兩圓沒有交點而且沒有一個圓在另一個圓內部。相切是指兩圓只有一個交點。相交是指兩圓有多於一個交點。相容是指兩圓沒有交點且一個圓在另一個內部。

兩個圓相交當且僅當兩個圓心之間的距離嚴格小於兩圓的半徑之和，並嚴格大於兩圓的半徑之差。

解析幾何中的判別方法

在平面解析幾何中，設兩條直線的方程為：

${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{1}):\,\ a_{1}x+b_{1}y=c_{1}}$

${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{2}):\,\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}}$

那麼${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{1})}$與 ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{2})}$ 相交當且僅當行列式：

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}$不等於零。

對於兩圓相交，設兩個圓的方程是：

${\displaystyle ({\mathcal {C}}_{1}):\,\ (x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r_{1}^{2}}$

${\displaystyle ({\mathcal {C}}_{2}):\,\ (x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}=r_{2}^{2}}$

那麼${\displaystyle ({\mathcal {C}}_{1})}$與 ${\displaystyle ({\mathcal {C}}_{2})}$ 相交當且僅當：

${\displaystyle |r_{1}-r_{2}|<{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}<|r_{1}+r_{2}|}$

例子

直線

• 設兩條直線的方程是：

${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{1}):\,\ 3x+5y=18}$

${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{2}):\,\ 6x-y=3}$

由於行列式：${\displaystyle {\begin{vmatrix}3&5\\6&-1\end{vmatrix}}=-33\neq 0}$，兩直線相交。交點為${\displaystyle (1,3)}$。

• 設兩條直線的方程是：

${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{1}):\,\ 3x+5y=18}$

${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{2}):\,\ 6x+10y=3}$

由於行列式：${\displaystyle {\begin{vmatrix}3&5\\6&10\end{vmatrix}}=0}$，兩直線不相交（實際上平行）。

圓

• 設兩個圓的方程是：

${\displaystyle ({\mathcal {C}}_{1}):\,\ (x-1)^{2}+(y+4)^{2}=6^{2}=36}$

${\displaystyle ({\mathcal {C}}_{2}):\,\ (x+3)^{2}+(y+1)^{2}=2^{2}=4}$

這時兩個圓心的距離是：${\displaystyle {\sqrt {[1-(-3)]^{2}+[-4-(-1)]^{2}}}=5}$，${\displaystyle |6-2|<5<|6+2|}$，因此兩圓相交。

參見

• 拓撲
• 幾何學

參考來源

• R.A.約翰遜 著，單壿 譯. 近代欧氏几何学. 上海教育出版社. 1999. ISBN 7-532-06392-0 請檢查|isbn=值 (幫助).
• 盛為民. 解析几何学. 浙江大學出版社. 2008. ISBN 7-308-06149-0 請檢查|isbn=值 (幫助).