狄利克雷摺積

在算術函數集上，可以定義一種二元運算，使得取這種運算為乘法，取普通函數加法為加法，使得算術函數集為一個交換環。其中一種這樣的運算便是狄利克雷摺積。它和一般的卷積有不少相類之處。

對於算術函數${\displaystyle f,g}$，定義其狄利克雷摺積${\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g({\frac {n}{d}})}$。

取狄利克雷摺積為運算，積性函數集是算術函數集的子群。

運算

• 交換律${\displaystyle f*g=g*f}$
• 結合律${\displaystyle (f*g)*h=f*(g*h)}$
• 分配律${\displaystyle f*(g+h)=f*g+f*h=(g+h)*f}$
• 存在單位函數ε使得${\displaystyle f=f*\epsilon =\epsilon *f}$。ε(n)的值為1若n=1，否則ε(n)=0。
• 對於任意算術函數${\displaystyle f}$，若${\displaystyle f(1)}$不等於0，都有唯一的逆函數${\displaystyle f^{-1}}$，使得${\displaystyle f*f^{-1}=\epsilon }$。

${\displaystyle f^{-1}}$的值如下：

${\displaystyle f^{-1}(1)={\frac {1}{f(1)}}}$

對於${\displaystyle n>1}$，${\displaystyle f^{-1}(n)={\frac {-1}{f(1)}}\sum _{d|n,n\neq d}f({\frac {n}{d}})f^{-1}(d)}$

默比烏斯函數μ的逆函數為（一般意義上的）1，即對於${\displaystyle n\neq 1}$，${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)\times 1=0}$。這是默比烏斯反演公式的原理。

狄利克雷摺積得名於數學家約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷。1857年約瑟夫·劉維爾曾發表了許多包含這個運算的恆等式。將它視為二元運算這個觀點由埃里克·坦普爾·貝爾和M.奇波拉1915年提出。

導數

若定義${\displaystyle f}$的「導數」${\displaystyle f'(n)=f(n)\log(n)}$，可以發現這個運算和連續實函數的導數有不少相似的地方：

• ${\displaystyle (f+g)'=f'+g'}$
• ${\displaystyle (f*g)'=f*g'+f'*g}$
• ${\displaystyle (f^{-1})'={\frac {-f'}{f*f}}}$

級數

對於算術函數${\displaystyle f}$，定義其狄利克雷級數

${\displaystyle DG(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

對於一些算術函數的狄利克雷級數，它們的積，跟那些算術函數的狄利克雷摺積的狄利克雷級數是相等的：

${\displaystyle DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s)\,}$

這跟卷積定理很相似。

定義${\displaystyle f}$的貝爾級數

${\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.}$

也有類似的關係：

• ${\displaystyle {(f*g)_{p}}(x)=f_{p}(x)\times g_{p}(x)}$

參考

• Introduction to Analytic Number theory, Tom M. Apostol
• http://eom.springer.de/D/d130150.htm （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）