五維正軸體(Pentacross),又稱正三十二超胞體(Triacontaditeron),是3個五維正多超胞體之一,是五維的正軸體,四維正十六胞體、三維正八面體、二維正方形的五維類比,由10個頂點、40條棱、80個正三角形面、80個正四面體胞、32個正五胞體超胞組成,施萊夫利符號{3,3,3,4},頂點圖為正十六胞體。同時,它也是考克斯特所歸類的211多胞形。
幾何性質
五維正軸體是五維超正方體的對偶,施萊夫利符號{3,3,3,4}意味着每個維脊(即面)處有4個正五胞體相交,頂點處都有16個正五胞體相交,頂點圖是正十六胞體,每條棱處都有8個正五胞體相交,棱圖是正八面體。對於邊長為a的五維正軸體,其超胞積為,表胞積是。
以中心為原點建立四維直角坐標系,則以√2為棱長的正三十二超胞體頂點坐標為 (±1,0,0,0,0), (0,±1,0,0,0), (0,0,±1,0,0), (0,0,0,±1,0), (0,0,0,0,±1)
五維正軸體作為五維的正軸形,與五維超正方體對偶,擁有BC5(立方形-正軸形對稱性),對應施萊夫利符號{3,3,3,4},考斯特-迪肯符號。同時,它也可被看作是正五胞體反稜柱(即上下兩正五胞體呈對偶式排列,再由正五胞體鏈接1個正五胞體的頂點和另一正五胞體的正四面體胞形成的稜柱),具有更低的對稱性D5,對應施萊夫利符號[32,1,1] 。如果我們把其對偶五維超立方體看做低對稱性的五維超長方體的話,其亦可被看作是五維的長菱體,可能有多種不同對稱性。
可視化
正三十二超胞體可以以不同角度平行投影到不同的考克斯特平面上:
參考
- H.S.M. 考克斯特:
- H.S.M. 考克斯特, Regular Polytopes, 第三版, Dover New York, 1973
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss參與編輯, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1](頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- (Paper 22) H.S.M. 考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. 考克斯特, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Paper 24) H.S.M. 考克斯特, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- 諾曼·約翰 Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
- N.W.約翰: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. (1966)
- Klitzing, Richard. 5D uniform polytopes (polytera) x3o3o3o4o - tac. bendwavy.org.
外部連結
- Olshevsky, George, Cross polytope at Glossary for Hyperspace.
- Polytopes of Various Dimensions(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- Multi-dimensional Glossary(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
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