原根

原根（英語：Primitive root）是一個在數論中的重要概念，特別是整除理論。

對於兩個正整數${\displaystyle gcd(a,m)=1}$，由歐拉定理可知，存在正整數${\displaystyle d\leq m-1}$， 比如說歐拉函數${\displaystyle d=\varphi (m)}$，即小於等於${\displaystyle m}$的正整數中與${\displaystyle m}$互質的正整數的個數，使得${\displaystyle a^{d}\equiv 1{\pmod {m}}}$。

由此，在${\displaystyle gcd(a,m)=1}$時，定義${\displaystyle a}$對模${\displaystyle m}$的指數${\displaystyle \delta _{m}(a)}$為使${\displaystyle a^{d}\equiv 1{\pmod {m}}}$成立的最小的正整數${\displaystyle d}$。由前知${\displaystyle \delta _{m}(a)}$ 一定小於等於 ${\displaystyle \varphi (m)}$，若${\displaystyle \delta _{m}(a)=\varphi (m)}$，則稱${\displaystyle a}$是模${\displaystyle m}$的原根。

例子

考慮 ${\displaystyle m=7}$，則 ${\displaystyle \varphi (m)=\varphi (7)=6}$。

設 ${\displaystyle a=2}$ ，由於

$${\displaystyle {\begin{array}{rcrcrc}2^{1}&=&2^{0}\times 2&\equiv &1\times 2&=&2&\equiv &2{\pmod {7}}\\2^{2}&=&2^{1}\times 2&\equiv &2\times 2&=&4&\equiv &4{\pmod {7}}\\2^{3}&=&2^{2}\times 2&\equiv &4\times 2&=&8&\equiv &1{\pmod {7}}\end{array}}}$$

因此有${\displaystyle Ord_{7}(2)=3\neq \varphi (7)=6}$，所以 2 不是模 7 的一個原根。

設 ${\displaystyle a=3}$ ，由於

$${\displaystyle {\begin{array}{rcrcrcrcrcr}3^{1}&=&3^{0}\times 3&\equiv &1\times 3&=&3&\equiv &3{\pmod {7}}\\3^{2}&=&3^{1}\times 3&\equiv &3\times 3&=&9&\equiv &2{\pmod {7}}\\3^{3}&=&3^{2}\times 3&\equiv &2\times 3&=&6&\equiv &6{\pmod {7}}\\3^{4}&=&3^{3}\times 3&\equiv &6\times 3&=&18&\equiv &4{\pmod {7}}\\3^{5}&=&3^{4}\times 3&\equiv &4\times 3&=&12&\equiv &5{\pmod {7}}\\3^{6}&=&3^{5}\times 3&\equiv &5\times 3&=&15&\equiv &1{\pmod {7}}\end{array}}}$$

因此有 ${\displaystyle Ord_{7}(3)=6=\varphi (7)}$ ，所以 3 是模 7 的一個原根^[1]。

性質

• 可以證明，如果正整數${\displaystyle (a,m)=1}$和正整數 d 滿足${\displaystyle a^{d}\equiv 1{\pmod {m}}}$，則 ${\displaystyle Ord_{m}(a)}$ 整除 d。^[2]因此${\displaystyle Ord_{m}(a)}$整除${\displaystyle \varphi (m)}$。在例子中，當${\displaystyle a=3}$時，我們僅需要驗證 3 的 2、3 次方模 7 的餘數即可，如果其中有一個是1，則3就不是原根。

• 記${\displaystyle \delta =Ord_{m}(a)}$，則${\displaystyle a^{0},a^{1},a^{2}\cdots ,a^{\delta -1}}$模 m 兩兩不同餘。因此當${\displaystyle a}$是模${\displaystyle m}$的原根時，${\displaystyle a^{0},a^{1},a^{2}\cdots ,a^{\delta -1}}$構成模 m 的簡化剩餘系。

• 模${\displaystyle m}$有原根的充要條件是${\displaystyle m=1,2,4,p^{n},2p^{n}}$，其中${\displaystyle p}$是奇質數，${\displaystyle n}$是任意正整數。

• 對正整數${\displaystyle (a,m)=1}$，如果 a 是模 m 的原根，那麼 a 是整數模m乘法群（即加法群 Z/mZ 的可逆元，也就是所有與 m 互素的正整數構成的等價類構成的乘法群）Z_m^×的一個生成元。由於Z_m^×有 ${\displaystyle \varphi (m)}$個元素，而它的生成元的個數就是它的可逆元個數，即 ${\displaystyle \varphi (\varphi (m))}$個，因此當模${\displaystyle m}$有原根時，它有${\displaystyle \varphi (\varphi (m))}$個原根。

一些數的原根列表

m	模m的原根(有*號的數沒有原根，此時是有最大模m週期的數)	週期 ( A002322)
1	0	1
2	1	1
3	2	2
4	3	2
5	2, 3	4
6	5	2
7	3, 5	6
8*	3, 5, 7	2
9	2, 5	6
10	3, 7	4
11	2, 6, 7, 8	10
12*	5, 7, 11	2
13	2, 6, 7, 11	12
14	3, 5	6
15*	2, 7, 8, 13	4
16*	3, 5, 11, 13	4
17	3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14	16
18	5, 11	6
19	2, 3, 10, 13, 14, 15	18
20*	3, 7, 13, 17	4
21*	2, 5, 10, 11, 17, 19	6
22	7, 13, 17, 19	10
23	5, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21	22
24*	5, 7, 11, 13, 17, 19, 23	2
25	2, 3, 8, 12, 13, 17, 22, 23	20
26	7, 11, 15, 19	12
27	2, 5, 11, 14, 20, 23	18
28*	3, 5, 11, 17, 19, 23	6
29	2, 3, 8, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 21, 26, 27	28
30*	7, 13, 17, 23	4
31	3, 11, 12, 13, 17, 21, 22, 24	30
32*	3, 5, 11, 13, 19, 21, 27, 29	8
33*	2, 5, 7, 8, 13, 14, 17, 19, 20, 26, 28, 29	10
34	3, 5, 7, 11, 23, 27, 29, 31	16
35*	2, 3, 12, 17, 18, 23, 32, 33	12
36*	5, 7, 11, 23, 29, 31	6

除了直接運算以外，至今還沒有一個辦法可以找到模特定m時的原根，但假如已知模m有一個原根，則可找出它其他的原根。

最小原根

模 p 的最小原根 g _p 定義為在 1 到 p-1 中最小的原根。數學家已經給出最小原根的上界及下界的一些限制。

伯吉斯(1962)證明對任何 ε>0，存在一個 C>0，使得 ${\displaystyle g_{p}\leq Cp^{{\frac {1}{4}}+\epsilon }}$。

Emil Grosswald (1981) 證明如果 ${\displaystyle p>e^{e^{24}}}$，則 ${\displaystyle g_{p}<p^{0.499}}$。

參考資料及注釋

1. Stromquist, Walter. What are primitive roots?. Mathematics. Bryn Mawr College. [2017-07-03]. （原始內容存檔於2017-07-03）.
2. 參考 http://www.infosec.sdu.edu.cn/jpkc/resource/4yuangen.pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

參見

• 費馬小定理

• 同餘

• 離散對數