格爾豐德-施奈德常數

格爾豐德-施奈德常數即為2的${\displaystyle {\sqrt {2}}}$次方，其值為：

${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}=2.6651441...}$

2的${\displaystyle {\sqrt {2}}}$次方

2的${\displaystyle {\sqrt {2}}}$次方
命名
名稱	格爾豐德-施奈德常數 希爾伯特數[1]
識別
種類	無理數 超越數
符號	${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$
位數數列編號	A007507
表示方式
值	${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}\approx }$2.6651441...
二進制	10.101010100100011011100010…
十進制	2.665144142690225188650297…
十六進制	2.AA46E2F3FB0062E316C62EDE…
閱 論 編

羅季翁·庫茲明在1930年證明此數字是超越數^[2]。 1934年蘇聯數學家亞歷山大·格爾豐德和德國數學家西奧多·施耐德分別獨立證明了更一般的格爾豐德-施奈德定理^[3]，因此證明格爾豐德-施奈德常數為超越數，也回答了希爾伯特第七問題。

它的平方根

${\displaystyle {\sqrt {2^{\sqrt {2}}}}={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}=1.6325269...}$

也是一個超越數。在無理數的無理數次方為有理數這個命題中，它可用來提供一個經典、簡捷的證明。

無理數的無理數次方為有理數

儘管已知 ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ 是超越數，自然也就會是無理數。但在不知道它是無理數的情況下，仍可以證明此事。

命題：在在 a, b 是無理數，使得 ${\displaystyle a^{b}}$為有理數。

證明：

已知${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是無理數，考慮 ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$，它有可能是有理數，也可能是無理數。

• 若 ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ 是有理數，即得證。
• 若 ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ 是無理數，則

${\displaystyle \left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}=({\sqrt {2}})^{{\sqrt {2}}\ \times {\sqrt {2}}}=({\sqrt {2}})^{2}=2.}$

為有理數，得證。

希爾伯特第七問題

主條目：希爾伯特第七問題

希爾伯特的第七個問題是要證明（或找出反例），如果a是一個不等於0或1的代數數，b是一個無理代數數，則a^b總是超越數。他給出了兩個例子，其中一個就是${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$。

1919年，他發表了一個關於數論的演講，談到了三個猜想：黎曼猜想、費馬大定理和${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$的超越性。他對觀眾說，在你們還活着的時候肯定沒人證明這三個猜想。^[4]但這個數的超越性在1934年得出證明^[5]，當時希爾伯特還活着。

參見

• e的π次方
• 希爾伯特數

參考文獻

1. Courant, R.; Robbins, H., What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press: 107, 1996
2. R. O. Kuzmin. On a new class of transcendental numbers. Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. matem. 1930, 7: 585–597.
3. Aleksandr Gelfond. Sur le septième Problème de Hilbert. Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na. 1934, VII (4): 623–634 [2021-11-01]. （原始內容存檔於2020-06-11）.
4. David Hilbert, Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919-1920.
5. Aleksandr Gelfond, Sur le septième Problème de Hilbert, Bull. Acad. Sci. URSS Leningrade 7, pp.623-634, 1934.