會圓術

會圓術，是從《九章算術》的「方田」章所載的「弧田術」的基礎發展而成的，並載於《夢溪筆談》一書，但作者沈括並未給出這一公式的推導。

所謂「會圓術」就是已知弓形的高和所在圓直徑，通過勾股定理求出弓形的弦長，進而求出弓形弧長的方法。即：${\displaystyle c\approx {\frac {2h^{2}}{d}}+l}$。其中${\displaystyle c}$為弧長，${\displaystyle d}$為弧所在的圓之直徑，${\displaystyle l}$為弓形的弦長，${\displaystyle h}$ 為弓形的高。

元代王詢、郭守敬等人在推算《授時曆》的過程中，曾應用會圓術推算「赤道積度」（太陽赤經余弧）和「赤道內外度」（太陽赤緯），類似歐美的球面三角形的公式。但由於會圓術弧矢公式易出現誤差，圓心角越大，誤差越大，推得的周天直徑不夠精確，因而其結果也就不十分精確。而計算方法僅限於畢氏定理，不知利用三角函數的正切，由弧度求弦矢，計算過於繁瑣。^[1]明朝末年制定《崇禎曆書》則由徐光啓直接引進西方數學。

內容

沈括說：「履畝之法，方圓曲直盡矣，未有會圓之術。凡圓田，既能拆之，須使會之復圓。」，「拆」即將圓割掉一個弓形，「會」意為合，也就是把「拆」掉的圓再復原回去，因此沈括又將這種方法稱為「拆會之術」。

已知圓的直徑和弓形的高，沈括先用勾股定理求出弓形的弦長：「置圓田，徑半之以為弦，又以半徑減去所割數，余者為股；各自乘，以股除弦，余者開方除為勾，倍之為割田之直徑」。「所割之數」指弓形的高，而「直徑」指的是弓形的弦長，不是圓的直徑。即${\displaystyle l=2{\sqrt {({\frac {d}{2}})^{2}-({d}-h)^{2}}}}$，其中${\displaystyle l}$為弓形的弦長，${\displaystyle d}$為弧所在的圓之直徑，${\displaystyle h}$ 為弓形的高。然後「以所割之數自乘倍之，又以圓徑除所得，加入直徑，為割田之弧」。即${\displaystyle c\approx {\frac {2h^{2}}{d}}+l}$，其中${\displaystyle c}$為弧長。

推導過程

雖然沈括沒有給出他的推導過程，但可以根據《九章算術·方田》中的「弧田術」、「宛田術」和「圭田術」（即弓形、扇形和三角形面積公式）得到沈括的公式。

「弧田術」認為：弓形面積${\displaystyle \approx }$「以弦乘矢，矢又自乘，並之，二而一」，即${\displaystyle {\frac {hl+h^{2}}{2}}}$，${\displaystyle l}$為弓形的弦長，${\displaystyle h}$ 為弓形的高；

「宛田術」指出：扇形面積=「以徑乘周，四而一」，即${\displaystyle {\frac {1}{4}}{c}\times {d}}$，${\displaystyle c}$為弧長，${\displaystyle {d}}$為所在的圓之直徑；

「圭田術」指出：三角面積=「半廣以乘正從」，即${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$底${\displaystyle \times }$高，則弓形所在扇形的圓心與弓弦圍成的三角形面積=${\displaystyle {\frac {1}{2}}{l}{(r-h)}}$。

會圓術求得的弧長與實際弓形弧長之比較

弓形所在扇形面積=弓形面積+該扇形圓心與弓弦圍成的三角形面積，即

${\displaystyle {\frac {1}{4}}c\times {d}\approx {\frac {hl+h^{2}}{2}}+{\frac {1}{2}}{l}{(r-h)}}$，化簡整理：

${\displaystyle rc\approx {hl+h^{2}}+{lr}-{lh}}$

${\displaystyle c\approx {\frac {h^{2}}{r}}+l={\frac {2h^{2}}{d}}+l}$

因為所依據的「弧田術」是錯誤的弓形面積公式，所以「會圓術」計算所得的弓形弧長也不正確，只是近似值，偏差隨圓心角增大而增大。

注釋

1. 錢寶琮:《授時曆法略論》，見《錢寶琮科學史論文選集》,科學出版社，1983年

外部連結

• 會圓術 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）