擴展實數線

擴展實數線又稱廣義實數（英語：extended real number），由實數線${\displaystyle \mathbb {R} }$加上${\displaystyle +\infty }$和${\displaystyle -\infty }$得到（注意${\displaystyle +\infty }$和${\displaystyle -\infty }$並不是實數），寫作${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$、[−∞, +∞]或ℝ ∪ {−∞, +∞}。在不會混淆時，符號 +∞常簡寫成∞。擴展的實數線在研究數學分析，特別是積分時非常有用。

擴展

對任意實數${\displaystyle a}$，定義${\displaystyle -\infty <a<+\infty }$，擴展的實數軸就成了一個全序集。這種集合有種非常好的性質，就是其所有子集都有上確界和下確界：這是一個完備格。全序關係在${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$上引入了拓撲。在這個拓撲中，集合${\displaystyle U}$是${\displaystyle +\infty }$的鄰域，當且僅當它包含集合${\displaystyle \left\{x:x>a\right\}}$，這裡${\displaystyle a}$是某個實數。${\displaystyle -\infty }$的鄰域類似。${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$是個緊緻的豪斯多夫空間，與單位區間${\displaystyle \left[0,1\right]}$同胚。

${\displaystyle \mathbb {R} }$上的算術運算可以部分地擴展到${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$，如下：

${\displaystyle {\begin{array}{l}a+\infty =+\infty +a=+\infty &a\neq -\infty \\a-\infty =-\infty +a=-\infty &a\neq +\infty \\a\cdot \left(\pm \infty \right)=\pm \infty \cdot a=\pm \infty &a\in \left(0,+\infty \right]\\a\cdot \left(\pm \infty \right)=\pm \infty \cdot a=\mp \infty &a\in \left[-\infty ,0\right)\\{\dfrac {a}{\pm \infty }}=0&a\in \mathbb {R} \\{\dfrac {\pm \infty }{a}}=\pm \infty &a\in \left(0,+\infty \right)\\{\dfrac {\pm \infty }{a}}=\mp \infty &a\in \left(-\infty ,0\right)\end{array}}}$

通常不定義${\displaystyle \infty -\infty ,0\cdot \left(\pm \infty \right),{\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}}$,${\displaystyle {\frac {a}{0}}}$。同時${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$也不定義為${\displaystyle +\infty }$（因為這樣忽視了${\displaystyle -\infty }$），這些規則是根據無窮極限的性質確定的。

注意在這些定義下，${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$不是域，也不是環。

性質

經過上述定義，擴展的實數軸仍有很多實數的性質：

• ${\displaystyle a+\left(b+c\right)}$和${\displaystyle \left(a+b\right)+c}$相等或同時沒有定義。
• ${\displaystyle a+b}$和${\displaystyle b+a}$相等或同時沒有定義。
• ${\displaystyle a\cdot \left(b\cdot c\right)}$和${\displaystyle \left(a\cdot b\right)\cdot c}$相等或同時沒有定義。
• ${\displaystyle a\cdot b}$和${\displaystyle b\cdot a}$相等或同時沒有定義。
• ${\displaystyle a\cdot \left(b+c\right)}$和${\displaystyle \left(a\cdot b\right)+\left(a\cdot c\right)}$若都有定義則相等。
• 若${\displaystyle a\leq b}$且${\displaystyle a+c}$和${\displaystyle b+c}$都有定義，則${\displaystyle a+c\leq b+c}$。
• 若${\displaystyle a\leq b}$且${\displaystyle c>0}$且${\displaystyle a\cdot c}$和${\displaystyle b\cdot c}$都有定義，則${\displaystyle a\cdot c\leq b\cdot c}$。

通常只要表達式都有定義，所有算術性質在${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$上都成立。

使用極限，一些函數可以自然地擴展到${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$。例如可以定義${\displaystyle {\rm {{e}^{-\infty }=0,{\rm {{e}^{+\infty }=+\infty ,\ln {0}=-\infty ,\ln {\left(+\infty \right)}=+\infty }}}}}$等。

參見

• 擴展的複平面