完全格

完全格又稱完備格，（英語：complete lattice），在數學中是代表所有子集都有上確界（並）和下確界（交）的偏序集。完全格出現於數學和計算機科學的很多應用中。作為格的特殊實例，在序理論和泛代數中都有所研究。

完全格一定不能混淆於完全偏序（cpo），它構成嚴格的更加一般的一個偏序集合類別。更特殊的完全格是完全布爾代數和完全海廷代數（locale）。

形式定義

偏序集合(L, ≤)是完全格，如果L的所有子集A在(L, ≤)中都有最大下界（下確界，交）和最小上界（上確界，並）二者。它們被表示為：

${\displaystyle \bigwedge }$A（交）和${\displaystyle \bigvee }$A（並）。

注意在A是空集的特殊情況下，L的任何元素都是空集的上界和下界，A的交將是L的最大元素。類似的，空集的並生成最小元素。因為定義還確保了二元交和並的存在，完全格因為形成了特殊種類的有界格。

上述定義的更多蘊涵在關於序理論中完備性性質的文章中討論。

例子

• 給定集合的冪集，按包含排序。上確界給出自這些子集的併集而下確界給出自這些子集的交集。
• 單位區間[0,1]和擴展的實數軸，通過平常的全序和普通的上確界和下確界。實際上，全序集合（帶有它的序拓撲）作為拓撲空間是緊緻的，如果它作為一個格是完全的。
• 非負整數按整除排序。這個格最小元是1，因為它可以整除任何其他數。可能令人驚奇的是，最大元是0，因為它可以被任何數整除。有限集合的上確界給出自最小公倍數而下確界給出自最大公約數。對於無限集合，上確界將總是0而下確界可以大於1。例如，所有偶數的集合有2作為最大公約數。如果從這個結構中去掉0它仍是格但不再是完全的。
• 任何給定群的子群在包含關係下。（儘管這裡的下確界是平常的集合論交集，但子群的集合的上確界是子群的集合論併集所生成的子群，而不是集合論併集自身）。如果e是G的單位元，則平凡的群{e}是G的極小子群。而極大子群是群G自身。
• 模的子模按包含排序。上確界給出自子模的和而下確界給出自交集。
• 環的理想子環按包含排序。上確界給出自理想子環的和而下確界給出自交集。
• 拓撲空間的開集按包含排序。上確界給出自開集的並而下確界給出自交集的內部。
• 實數或複數的向量空間的凸集按包含排序。下確界給出自凸集的交集而上確界給出自併集的凸包。
• 在集合上拓撲按包含排序。下確界給出自拓撲的交集，而上確界給出自拓撲的併集所生成的拓撲。
• 在集合上的所有傳遞關係的格。
• 多重集的子多重集的格。
• 在集合上的所有等價關係的格；等價關係~被認為比≈更小（或"更細"），如果x~y總是蘊涵x≈y。

參見

• 完全布爾代數
• 完全Heyting代數