招差術

招差術是中國古代數學中的多項式插值。秦九韶稱為「招法」，「招差」一詞為元代數學家、曆法家王恂首創。元代數學家朱世傑在《四元玉鑒》多次使用招差術。卷中《如像招數》第五問給出世界上最早的四次內插公式^[1]。

秦九韶招法

秦九韶在《數書九章》中多次使用二次插值法。

《數書九章》卷十三 《計造石壩》

術曰：以商工求之，以招法入之

《數書九章》卷三 《綴術推星》也使用自變數不等間二次內插法（招差）。^[2]。

郭守敬王恂招差術

郭守敬和王恂在《授時曆》中大量使用三次內插法，他稱為「招差」^[3]。王恂推廣隋唐時代二次內插法（盈不足術）為三次內插法（招差術），用以計算太陽盈縮，太陰遲疾的差分，定差，平差，立差，並歸納出平立定三差計算公式。

視入歷盈者，在盈初縮末限已下，為初限，已上，反減半歲周，余為末限；縮者，在縮初盈末限已下，為初限，已上，反減半歲周，余為末限。其盈初縮末者，置立差三十一，以初末限乘之，加平差二萬四千六百，又以初末限乘之，用減定差五百一十三萬三千二百，余再以初末限乘之，滿億為度，不滿退除為分秒。縮初盈末者，置立差二十七，以初末限乘之，加平差二萬二千一百，又以初末限乘之，用減定差四百八十七萬六百，余再以初末限乘之，滿億為度，不滿退除為分秒，即所求盈縮差。^[4]

• 令 a 代表定差
• 令 b 代表平差
• 令 c 代表立差
• 令 k 代表初末限

盈縮差=${\displaystyle ak-bk^{2}-ck^{3}}$^[5]。

朱世傑招差術

朱世傑《四元玉鑒》多次使用招差術。卷中《如像招數》第五問給出世界上最早的四次內插公式^[1]：

今有官司依立方招兵，初招方面三尺，次招方面轉多一尺，得數為兵，今招一十五方，每人日支錢二百五十文，問兵及支錢各幾何。或問還原：依立方招兵，初招方面三尺，次招方面轉多一尺，得數為兵。今招一十五日，每人日支錢二百五十文，問招兵及支錢幾何？
答曰：兵二萬三千四百人，錢二萬三千四百六十二貫。
術曰求得上差二十七，二差三十七，三差二十四，下差六
求兵者，今招為上積，又今招減一為茭草底子積為二積，又今招減二為三角底子積，又今招減三為三角一積為下積。以各差乘各積，四位並之，即招兵數也。

^[6]

先求出上差（一次差），二差（二次差），三差（三次差）和下差（四次差），然後求出答案，是四次插值法（招差術）的運用^[7]

日數	支錢累計數	每日支錢	招兵累計數	上差（每日招兵數）	二差	三差	下差
1	6.75	6.75	27	27
2	29.5	22.75	91	64	37
3	83.5	54	216	125	61	24
4	191.5	108	432	216	91	30	6
5	385.25	193.75	775	343	127	36	6

招兵累計數=

${\displaystyle n*a+{\frac {1}{2*1}}*n*(n-1)*b+{\frac {1}{3*2*1}}*n*(n-1)*(n-2)*c}$

${\displaystyle +{\frac {1}{4*3*2*1}}n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*d}$^[8]。

其中

• a=上差
• b=二差
• c=三差
• d=下差

梅文鼎

清代數學家梅文鼎著有《平立定三差詳說》，詳解《授時曆》的平定立三差法。^[9]

參考文獻

引用

1. 孔國平 439-444
2. 李儼 350-356
3. 吳文俊 169 頁
4. 元史 卷54 志第6　曆三
5. 李儼 369-370
6. 朱世傑 113頁>
7. 李儼 《中國算法對內插法定應用》375-382
8. 孔國平 440-441
9. 李儼.錢寶琮383 385頁

來源

書籍

• 李儼. 《中算家电的内插法研究》. 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷二. 遼寧教育出版社. 1998. ISBN 978-7-538-24807-4.
• 孔國平. 《李冶朱世杰与金元数学》. 河北科學技術出版社. 2000. ISBN 978-7-537-51884-0.
• 朱世傑. 《四元玉鉴校证》. 李兆華 校證. 科學出版社. 2007. ISBN 978-7-030-20112-6.
• 吳文俊 主編 (編). 朱世杰的数学成就. 《中国数学史大系》 第六卷 第四编. : 206–280. ISBN 7-303-04927-4/O 請檢查|isbn=值 (幫助).