差分

差分，又名差分函數或差分運算，一般是指有限差分（英語：Finite difference），是數學中的一個概念，將原函數 ${\displaystyle f(x)}$ 映射到 ${\displaystyle f(x+a)-f(x+b)}$。差分運算，相應於微分運算，是微積分中重要的一個概念。

此條目頁的主題是數學當中的一種函數或運算。關於電子系統設計與信號傳輸中的差分傳輸，請見「差分信號」。

定義

差分分為前向差分和逆向差分。

前向差分

函數的前向差分通常簡稱為函數的差分。對於函數${\displaystyle \ f(x)}$，如果在等距節點：

${\displaystyle x_{k}=x_{0}+kh,(k=0,1,...,n)}$

${\displaystyle \ \Delta f(x_{k})=f(x_{k+1})-f(x_{k})}$

則稱${\displaystyle \ \Delta f(x)}$，函數在每個小區間上的增量${\displaystyle y_{k+1}-y_{k}}$為${\displaystyle \ f(x)}$一階差分。^[1]

在微積分學中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在離散的函數中的等效運算。差分方程的解法也與微分方程的解法相似。當${\displaystyle \ f(x)}$是多項式時，前向差分為Delta算子（稱${\displaystyle \Delta }$為差分算子^[2]），一種線性算子。前向差分會將多項式階數降低 1。

逆向差分

對於函數${\displaystyle \ f(x_{k})}$，如果：

${\displaystyle \ \nabla f(x_{k})=f(x_{k})-f(x_{k-1}).\,}$

則稱${\displaystyle \ \nabla f(x_{k})}$為${\displaystyle \ f(x)}$的一階逆向差分。

差分的階

一階差分的差分為二階差分，二階差分的差分為三階差分，其餘類推。記：

${\displaystyle \ \Delta ^{n}[f](x)}$為${\displaystyle \ f(x)}$的${\displaystyle \ n}$階差分。

如果

${\displaystyle \ \Delta ^{n}[f](x)}$	${\displaystyle \ =\Delta \{\Delta ^{n-1}[f](x)\}}$
	${\displaystyle \ =\Delta ^{n-1}[f](x+1)-\Delta ^{n-1}[f](x)}$

根據數學歸納法，有

${\displaystyle \ \Delta ^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(-1)^{n-i}f(x+i)}$

其中，${\displaystyle \ {n \choose i}}$為二項式係數。

特別的，有

${\displaystyle \ \Delta ^{2}[f](x)=f(x+2)-2f(x+1)+f(x)}$

前向差分有時候也稱作數列的二項式變換

差分的性質

對比解析函數中的微分的屬性，差分的性質有：

• 如果C為常數，則有

${\displaystyle \Delta C=0}$

• 線性：如果 ${\displaystyle \ a}$ 和 ${\displaystyle \ b}$ 為常數，則有

${\displaystyle \Delta (af+bg)=a\Delta f+b\Delta g}$

• 乘法定則(此處步長${\displaystyle h\equiv 1}$)：

${\displaystyle \Delta (fg)=f\Delta g+g\Delta f+\Delta f\Delta g}$

${\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f-\nabla f\nabla g}$

• 除法定則：

${\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}^{-1}}$

${\displaystyle \Delta \left({\dfrac {f}{g}}\right)={\dfrac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\Delta f&\Delta g\\f&g\end{bmatrix}}\det {\begin{bmatrix}g&\Delta g\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}}$

或

${\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\nabla f-f\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}}$

${\displaystyle \Delta \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\Delta f-f\Delta g}{g\cdot (g+\Delta g)}}}$

• 級數：

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)=f(b+1)-f(a)}$

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)=f(b)-f(a-1)}$

牛頓級數

參見：均差

《自然哲學的數學原理》的第三編「宇宙體系」的引理五的圖例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N，對應著6個值A,B,C,D,E,F，生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值，計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。

牛頓插值公式也叫做牛頓級數，由「牛頓前向差分方程」的項組成，得名於伊薩克·牛頓爵士，最早發表為他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編「宇宙體系」的引理五^[3]，此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。

單位步長情況

當${\displaystyle x}$值間隔為單位步長${\displaystyle 1}$時，有：

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\frac {x-a}{1}}\left[\Delta ^{1}[f](a)+{\frac {x-a-1}{2}}\left(\Delta ^{2}[f](a)+\cdots \right)\right]\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}\Delta ^{k}[f](a)\prod _{i=1}^{k}{\frac {[(x-a)-i+1]}{i}}\\&=\sum _{k=0}^{n}{x-a \choose k}~\Delta ^{k}[f](a)\\\end{aligned}}}$

這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。這裡的表達式

${\displaystyle {x \choose k}={\frac {(x)_{k}}{k!}}\quad \quad (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}$

是二項式係數，其中的${\displaystyle (x)_{k}}$是「下降階乘冪」(另一種常見的標記法為${\displaystyle x^{\underline {k}}}$)，空積${\displaystyle (x)_{0}}$被定義為${\displaystyle 1}$。這裡的${\displaystyle \Delta _{k}\left[f\right](x)}$是「前向差分」的特定情況，即間距${\displaystyle h=1}$。

實例

為了展示牛頓的這個公式是如何使用的，舉例數列 1, 4, 9,16...的前幾項，可以找到一個多項式重新生成這些值，首先計算一個差分表，接著將對應於x₀（標示了下劃線）的這些差分代換入公式，

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline x&\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}&\Delta ^{3}\\\hline 1&{\underline {1}}&&&\\&&{\underline {3}}&&\\2&4&&{\underline {2}}&\\&&5&&{\underline {0}}\\3&9&&2&\\&&7&&\\4&16&&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}+\Delta ^{1}{\dfrac {(x-x_{0})}{1!}}+\Delta ^{2}{\dfrac {(x-x_{0})(x-x_{0}-1)}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\&=1+3\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\&=1+3(x-1)+(x-1)(x-2)\\&=x^{2}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

一般情況

對於x值間隔為非一致步長的情況，牛頓計算均差，在間隔一致但非單位量時，即上述前向差分的一般情況，插值公式為：

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\frac {x-a}{h}}\left[\Delta _{h}^{1}[f](a)+{\frac {x-a-h}{2h}}\left(\Delta _{h}^{2}[f](a)+\cdots \right)\right]\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}\prod _{i=0}^{k-1}[(x-a)-ih]\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!}}\prod _{i=0}^{k-1}\left({\frac {x-a}{h}}-i\right)\end{aligned}}}$

在最終公式中h^k被消去掉了，對於非一致步長的情況則不會出現階乘。

參考

1. 科學出版社 《數值分析及科學計算》 薛毅（編） 第六章 第2節 Newton插值. P204.
2. 科學出版社 《數值分析及科學計算》 薛毅（編） 第六章 第2節 Newton插值. P205.
3. Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1

參見

• 遞歸
• 招差術
• 遞迴關係式
• 拉格朗日多項式
• 吉爾布雷斯猜想
• 牛頓多項式
• 牛頓級數表
• 泰勒級數
• 時標微積分
• 分部求和法

參考文獻

• Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert, Mellin transforms and asymptotics: Finite differences and Rice's integrals, Theoretical Computer Science, 1995, 144 (1–2): 101–124, doi:10.1016/0304-3975(94)00281-M^{[永久失效連結]}.