龐加萊度量

數學中，龐加萊度量（Poincaré metric），以昂利·龐加萊命名，描述了一個常負曲率二維曲面的度量張量。它是雙曲幾何和黎曼曲面中廣為使用的自然度量。

在二維雙曲幾何中有三種廣泛使用的等價表述。其中一個是龐加萊半平面模型，在上半平面上定義一個雙曲空間模型。龐加萊圓盤模型在單位圓盤上定義了一個雙曲空間模型。圓盤與上半平面通過一個共形映射聯繫，等距由莫比烏斯變換給出。第三個表述是在穿孔圓盤上，通常表示為與 q-類似（Q-analog）的關係，這種形式不同於前兩種。

黎曼曲面上的度量概要

複平面上的度量可寫成一般形式

${\displaystyle ds^{2}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dzd{\overline {z}}}$

這裡 λ 是 z 與 ${\displaystyle {\overline {z}}}$ 的一個實正函數。複平面上曲線 γ 的長度為

${\displaystyle l(\gamma )=\int _{\gamma }\lambda (z,{\overline {z}})\,|dz|.}$

複平面上子集 M 之面積是

${\displaystyle {\mbox{Area}}(M)=\int _{M}\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,{\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}},}$

這裡 ${\displaystyle \wedge }$ 是用於構造體積形式的外積。度量的行列式等於 ${\displaystyle \lambda ^{4}}$，故而行列式的平方根是 ${\displaystyle \lambda ^{2}}$。複平面上的歐幾里得體積形式為 ${\displaystyle dx\wedge dy}$，從而我們有

${\displaystyle dz\wedge d{\overline {z}}=(dx+i\,dy)\wedge (dx-idy)=-2i\,dx\wedge dy.}$

函數 ${\displaystyle \Phi (z,{\overline {z}})}$ 稱為度量的勢能（potential of the metric），如果

${\displaystyle 4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}\Phi (z,{\overline {z}})=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}}).}$

拉普拉斯–貝爾特拉米算子為

${\displaystyle \Delta ={\frac {4}{\lambda ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right).}$

度量的高斯曲率由

${\displaystyle K=-\Delta \log \lambda ,}$

給出，這個曲率是里奇數量曲率的一半。

等距保持角度與弧長。在黎曼曲面上，等距與坐標變換等價：即拉普拉斯-貝爾特拉米算子與曲率在等距下不變。從而，比如設 S 是一個黎曼曲面帶有度量 ${\displaystyle \lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dzd{\overline {z}}}$ 而 T 是帶有度量 ${\displaystyle \mu ^{2}(w,{\overline {w}})\,dw\,d{\overline {w}}}$ 的黎曼曲面，則映射

${\displaystyle f:S\to T\,}$

以及 ${\displaystyle f=w(z)}$ 是等距當且僅當它是共形的以及

${\displaystyle \mu ^{2}(w,{\overline {w}})\;{\frac {\partial w}{\partial z}}{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial {\overline {z}}}}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}}).}$

在這裡，映射為共形的也就是條件

${\displaystyle w(z,{\overline {z}})=w(z),}$

即

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}w(z)=0.}$

龐加萊平面上的度量與體積元

龐加萊半平面模型中上半平面 H 的龐加萊度量張量為

${\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}}={\frac {dzd{\overline {z}}}{y^{2}}},}$

這裡我們記 ${\displaystyle dz=dx+i\,dy}$。這個度量張量在 SL(2,R) 的作用下不變。這就是，如果我們記

${\displaystyle z'=x'+iy'={\frac {az+b}{cz+d}},}$

對 ${\displaystyle ad-bc=1}$，則我們可算得

${\displaystyle x'={\frac {ac(x^{2}+y^{2})+x(ad+bc)+bd}{|cz+d|^{2}}},}$

與

${\displaystyle y'={\frac {y}{|cz+d|^{2}}},}$

無窮小變換為

${\displaystyle dz'={\frac {dz}{(cz+d)^{2}}},}$

從而

${\displaystyle dz'd{\overline {z}}'={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{|cz+d|^{4}}}.}$

這樣便清楚地表明度量張量在 SL(2,R) 的作用下不變。

不變體積元素為

${\displaystyle d\mu ={\frac {dx\,dy}{y^{2}}}.}$

對 ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {H} }$ 度量為

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}{\frac {|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|}},}$

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\log {\frac {|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|+|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|-|z_{1}-z_{2}|}}.}$

度量的另一個有用的形式是用交比給出。給定緊化複平面 ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \infty }$ 上任意四點 ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$ 與${\displaystyle z_{4}}$，交比定義為

${\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{1}-z_{2})(z_{3}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{4}-z_{1})}}.}$

那麼度量用交比表示為

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\ln(z_{1},z_{2}^{\times };z_{2},z_{1}^{\times }).}$

這裡 ${\displaystyle z_{1}^{\times }}$ 與 ${\displaystyle z_{2}^{\times }}$ 是端點，位於實數軸上，測地線連接 ${\displaystyle z_{1}}$ 與 ${\displaystyle z_{2}}$。這些點是有順序的故 ${\displaystyle z_{1}}$ 位於 ${\displaystyle z_{1}^{\times }}$ 與 ${\displaystyle z_{2}}$ 之間。

這個度量張量的測地線是在兩個端點處垂直於實軸的圓弧（的一段），即端點位於實軸的上半圓周。

從平面到圓盤的共形映射

上半平面可以共形地映到單位圓盤，用莫比烏斯變換

${\displaystyle w=e^{i\phi }{\frac {z-z_{0}}{z-{\overline {z_{0}}}}},}$

這裡單位圓盤上的點 w 對應於上半平面上的點 z。在這個映射中，常數 z₀ 可取上半平面上任何一點；這個點將映為圓盤的中心。實數軸 ${\displaystyle \Im z=0}$ 映為單位圓盤的邊界 ${\displaystyle |w|=1}$。實常數 ${\displaystyle \phi }$ 將圓盤旋轉任意一個角度。

典範映射是

${\displaystyle w={\frac {iz+1}{z+i}}}$

將 i 映為圓盤的中心，0 映為圓盤的最低點。

龐加萊圓盤上的度量與體積元素

龐加萊圓盤模型里的龐加萊度量張量在單位圓盤 ${\displaystyle U=\{z=x+iy:|z|={\sqrt {(x^{2}+y^{2})}}\leq 1\}}$ 上為

${\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}}.}$

體積形式為

${\displaystyle d\mu ={\frac {dx\,dy}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dx\,dy}{(1-|z|^{2})^{2}}}.}$

對 ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in U}$ 的龐加萊度量為

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-z_{1}{\overline {z_{2}}}}}\right|.}$

這個度量張量的測地線是在端點處正交於圓盤邊界的圓弧。

穿孔圓盤模型

穿孔圓盤坐標上的 J-不變量（J-invariant）；這是 nome 的一個函數。

龐加萊圓盤坐標上的 J-不變量；注意這個圓盤比文中給出的典範坐標旋轉了90度。

第二個將上半平面映成圓盤是 q-映射：

${\displaystyle q=exp(i\pi \tau )}$

這裡 q 是 nome（Nome），${\displaystyle \tau }$ 是半周期比例（half-period ratio）。在上一節的記號中，${\displaystyle \tau }$ 是上半平面 ${\displaystyle \Im \tau >0}$ 的坐標。這個映射映到穿孔圓盤，因為值 q=0 不在映射的像中。

上半平面的龐加萊度量在 q-圓盤上誘導一個度量

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{|q|^{2}(\log |q|^{2})^{2}}}dqd{\overline {q}},}$

度量的勢能是

${\displaystyle \Phi (q,{\overline {q}})=4\log \log |q|^{-2}.}$

施瓦茨引理

龐加萊度量在調和函數上距離減小。這是施瓦茨引理的一個推廣，稱為施瓦茨-阿爾福斯-皮克定理（Schwarz-Alhfors-Pick theorem）。

另見

• 富克斯群（Fuchsian group）
• 富克斯模型（Fuchsian model）
• 克萊因群
• 克萊因模型
• 龐加萊圓盤模型
• 龐加萊半平面模型
• 本原測地線（Prime geodesic）
• 施瓦茨-阿爾福斯-皮克定理

引用

• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
• Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
• Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Provides a simple, easily readable introduction.)