廣義超幾何函數（generalized hypergeometric function），有時也稱超幾何函數，是一個用冪級數定義的函數，其中冪級數的係數由若干個升階乘的積和商給出。下文中用「超幾何函數」一詞代指廣義超幾何函數，而用「高斯超幾何函數」一詞代指 p=2、 q=1 時的廣義超幾何函數。
超幾何函數是用冪級數定義的：
其中相鄰兩項的係數之比 βn+1/βn 是關於 n 的有理函數，分子和分母都可以表示成若干個一次函數的乘積。一般要求分子和分母的多項式的最高次係數均為 1，並取 β0=1，於是
於是用階乘冪可以將 βn 表示為
一般用下面的記號來表示超幾何函數：
![{\displaystyle _{p}F_{q}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{p};b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{q};z)=\ _{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{i=1}^{p}(a_{i})^{(n)}}{\prod _{i=1}^{q}(b_{i})^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a601ddfb472685a89a853e07afa9409ed509735)
當 ai 都不是非正整數（即負整數和 0）時，要求所有的 bi 都不是非正整數。當有至少一個 ai 是非正整數，且其中最大（絕對值最小）者為 k 時，超幾何函數將截斷為 -k 次多項式，這時允許 bi 中存在非正整數，但要求這些非正整數都小於 k。這都是為了保證在所有的 βn中，分母不為零。
下面討論用來定義超幾何函數的冪級數以零為中心的收斂半徑。
當超幾何函數截斷為多項式時，顯然收斂半徑是無窮大。
除去這種特殊情況之外，用比值審斂法可知，當 p<q+1 時，收斂半徑為無窮大，當 p=q+1 時，收斂半徑為 1，剩下的情況收斂半徑為 0（這時一般把超幾何函數中對應的冪級數視作漸近級數，而函數本身則採用其它方式定義，如積分表達式）。
當級數的收斂半徑為 1 時，級數在單位圓外不收斂，但仍然可以通過解析延拓來定義超幾何函數的值。另外，此時在單位圓上的斂散性較為複雜，不能使用比值審斂法，必須使用高斯審斂法來判斷，結果如下，令
則
- 當 r>0 時，級數在單位圓上絕對收斂；
- 當 0≥r>-1 時，級數在單位圓上除 z=1 外收斂，但不絕對收斂；
- 當 -1≥r 時，級數在單位圓上發散。
複平面上的路徑積分可以用來定義所有 ak 都不是非正整數時的廣義超幾何函數，包括上面說到的 p≥q+1 的情形。
下面只介紹 p+1>q 且級數不截斷為多項式的情形（其它情形下，上面的冪級數定義已經是良好的定義，而下面的積分不收斂），這時超幾何函數可以定義為：
![{\displaystyle \left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k})\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k})\right)\,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{+i\infty }\left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k}+s)\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k}+s)\right)\Gamma (-s)(-z)^{s}\mathrm {d} s}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d184c5c794c2f2c11cbc2cf2959157658c2b06d)
當 p=q 且級數不截斷為多項式時，超幾何函數既可以用上面的積分來定義，也可以用超幾何級數定義。可以證明，兩種定義是等價的，且定義出來的超幾何函數都是整函數；
當 p=q+1 且級數不截斷為多項式時，超幾何函數既可以用上面的積分來定義，也可以用超幾何級數定義，但級數定義只在 |z|<1 時有效，在這個區域內，兩種定義是等價的，上式提供了級數定義的一個解析延拓；
當 p>q+1 且級數不截斷為多項式時，超幾何函數只能通過積分表達式定義，對應的超幾何級數只在 z =0 處收斂，其它情況均發散，它是積分定義的超幾何函數在 z=0 處的漸近級數，即
![{\displaystyle _{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]\approx \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{i=1}^{p}(a_{i})^{(n)}}{\prod _{i=1}^{q}(b_{i})^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}},\quad p>q+1,z\rightarrow 0,|\arg z|<(p+1-q){\frac {\pi }{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375aba070281795dc36c3a42661626b42544da95)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f9e5f5589ca829bfbb3f82698f930b9006b49cd)
由上面三個關係式可以得到超幾何函數滿足的微分方程：
![{\displaystyle z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w,\quad w(z)={}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9649ece7733c9743e31ff91eaa411de7595aa64c)
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稱為合流超幾何極限函數（confluent hypergeometric limit functions），與貝塞爾函數有密切關聯。
1F1 就是（第一類）合流超幾何函數，也稱 Kummer 函數。
另一方面，2F0 （此函數的級數表達式不收斂，因此必須通過積分表達式定義）與第二類合流超幾何函數（又稱Tricomi 函數）有如下關係：
事實上，它們都可以表示為高斯超幾何函數的極限，
類似地，pFq 都可以表示成 p+1Fq 或 pFq+1 的極限。
不完全伽瑪函數與這兩個函數有關聯：
當 s 為非負整數時，多重對數函數 Lis 可以用超幾何函數表示：
![{\displaystyle \mathrm {Li} _{s}(z)=z\cdot {}_{s+1}F_{s}\left[{\begin{array}{c}1,\ldots ,1\\2,\dots ,2\end{array}};z\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c01e104b0f2f9a0aadeada158721b9efe9dbb52)
![{\displaystyle _{p}F_{q}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{p};b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{q};z)=\ _{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{i=1}^{p}(a_{i})^{(n)}}{\prod _{i=1}^{q}(b_{i})^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a601ddfb472685a89a853e07afa9409ed509735)
![{\displaystyle \left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k})\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k})\right)\,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{+i\infty }\left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k}+s)\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k}+s)\right)\Gamma (-s)(-z)^{s}\mathrm {d} s}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d184c5c794c2f2c11cbc2cf2959157658c2b06d)
![{\displaystyle _{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]\approx \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{i=1}^{p}(a_{i})^{(n)}}{\prod _{i=1}^{q}(b_{i})^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}},\quad p>q+1,z\rightarrow 0,|\arg z|<(p+1-q){\frac {\pi }{2}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375aba070281795dc36c3a42661626b42544da95)
![{\displaystyle {}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};0\right]=1}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/732b7c4ae04e41f09e885f9cf8d5c3723ef7a766)
![{\displaystyle {}_{p+1}F_{q+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{p},c\\b_{1},\ldots ,b_{q},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{p}\\b_{1},\ldots ,b_{q}\end{array}};tz\right]dt}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcfa4e8a3e2955047362a5fab5e8fedff7380ba7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f9e5f5589ca829bfbb3f82698f930b9006b49cd)
![{\displaystyle z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w,\quad w(z)={}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9649ece7733c9743e31ff91eaa411de7595aa64c)
![{\displaystyle \mathrm {Li} _{s}(z)=z\cdot {}_{s+1}F_{s}\left[{\begin{array}{c}1,\ldots ,1\\2,\dots ,2\end{array}};z\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c01e104b0f2f9a0aadeada158721b9efe9dbb52)
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