布隆斯公式

布隆斯公式（英語：Bruns formula），也稱布隆斯方程，^[1]是大地測量學中用於描述大地水準面高、擾動位和正常重力的關係式，^[2]:85由德國大地測量學家海因里希·布隆斯於1878年提出。^[3]

數學表達

設大地水準面有一點 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ，其沿法線投影到參考橢球面上的點為 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$，則 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ 點處的大地水準面高 ${\displaystyle N}$ 即為兩點之間的距離 。又設 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ 點處的擾動位為 ${\displaystyle T}$，計算得的 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 點處的正常重力為 ${\displaystyle \gamma }$，則布隆斯公式可表達為：^[2]:85

${\displaystyle N={\frac {T}{\gamma }}}$

在實際使用過程中，為簡化計算，在不影響精度的情況下上式的 ${\displaystyle \gamma }$ 可以用正常重力的平均值 ${\displaystyle {\bar {\gamma }}}$ 代替。^[4]:245

推導過程

由於參考橢球面的正常重力位 ${\displaystyle U}$ 被定義成與其所對應的大地水準面的重力位 ${\displaystyle W_{0}}$ 相等，大地水準面上的點 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ 及其在參考橢球面上的投影 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 的重力位存在如下關係：^[2]:82

${\displaystyle W_{P}=U_{Q}=W_{0}}$

重力位 ${\displaystyle W_{P}}$ 又可被分作正常重力位 ${\displaystyle U_{P}}$ 和擾動位 ${\displaystyle T}$ 兩部分，即：^[2]:82

${\displaystyle W_{P}=U_{P}+T}$

則擾動位 ${\displaystyle T}$ 可表示成點 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ 和點 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 的正常重力位之差，並進一步表示為點 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 處正常重力的偏導數：^[2]:84

${\displaystyle T=U_{Q}-U_{P}=-{({\partial U \over \partial n})}_{Q}N=\gamma N}$

上式中 ${\displaystyle n}$ 為參考橢球面的法線方向（也即大地水準面高 ${\displaystyle N}$ 的方向）。正常重力 ${\displaystyle \gamma }$ 的正向向下，因此符號為負。將上式變形即得：

${\displaystyle N={\frac {T}{\gamma }}}$

參見

• 廣義布隆斯方程
• 重力測量基本微分方程

參考文獻

1. Sneeuw, Nico. Physical Geodesy (PDF). Institute of Geodesy Universität Stuttgart. 2006: 122 [2020-04-05]. （原始內容 (PDF)存檔於2020-04-13）.
2. San Francisco W. H. Freeman and Company. Heiskanen Moritz 1967 Physical Geodesy. San Francisco: W. H. Freeman and Company. 1967. 引文格式1維護：日期與年 (link)
3. Bruns, Heinrich. Die Figur der Erde: Ein Beitrag zur europäischen Gradmessung. P. Stankiewicz. 1878: 20 [2020-04-05]. （原始內容存檔於2020-05-03） （德語）.
4. 寧津生. 管澤霖 , 編. 地球形状及外部重力场. 測繪出版社. 1981.