布里淵函數和郎之萬函數

布里淵函數和郎之萬函數（Brillouin and Langevin functions）是理想順磁性材料研究中的一對特殊函數。

布里淵函數

布里淵函數^[1][2]形式為：

${\displaystyle B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)}$

其中，${\displaystyle x}$ 為實數，${\displaystyle J}$ 為正整數或半整數，函數的值域為從-1（${\displaystyle x\to -\infty }$）到1（${\displaystyle x\to +\infty }$）。

布里淵函數是計算理想順磁體的磁化強度時引入的。它描述了磁化強度${\displaystyle M}$ 與外加 磁場 ${\displaystyle B}$ 、材料微觀磁矩的 總角動量量子數 J之間的關係。磁化強度由下式給出：^[1]

${\displaystyle M=Ng\mu _{B}J\cdot B_{J}(x)}$

其中，${\displaystyle N}$ 單位體積內原子的數目，${\displaystyle g}$ 為g因數（英語：g-factor (physics)），${\displaystyle \mu _{B}}$為玻爾磁子，${\displaystyle x}$ 為外場中磁矩的塞曼能（英語：Zeeman energy）與無規熱能 ${\displaystyle k_{B}T}$之比：

${\displaystyle x={\frac {g\mu _{B}JB}{k_{B}T}}}$

其中，${\displaystyle k_{B}}$ 為 波爾茲曼常數， ${\displaystyle T}$ 為絕對溫度。

郎之萬函數

郎之萬函數 (紅線) 與 ${\displaystyle \tanh(x/3)}$ (藍線)。

在經典極限，磁矩可以連續地沿外場取向，${\displaystyle J\to \infty }$，布里淵函數可以化簡為郎之萬函數，形式為：

${\displaystyle L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}}$

在高分子物理學中，受外力拉伸的理想高分子鏈的平均末端距也用郎之萬方程描述：^[3]

${\displaystyle <R>=bN\left(\coth(fb/k_{B}T)-{\frac {1}{fb/k_{B}T}}\right)}$

其中，${\displaystyle b}$為 庫恩長度，${\displaystyle N}$為高分子鏈長，${\displaystyle f}$為施加在鏈末端的外力。

當x為小量時，郎之萬函數可由其截斷的泰勒級數近似：

${\displaystyle L(x)={\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-{\tfrac {1}{4725}}x^{7}+\dots }$

郎之萬函數還可以由以下連分式近似：

${\displaystyle L(x)={\frac {x}{3+{\tfrac {x^{2}}{5+{\tfrac {x^{2}}{7+{\tfrac {x^{2}}{9+\ldots }}}}}}}}}$

郎之萬函數的逆函數可由下式近似：^[4]

${\displaystyle L^{-1}(x)\approx x{\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}}},}$

其中，x的取值範圍為(-1, 1)。

當x比較小時，一個更好的近似為：

${\displaystyle L^{-1}(x)=3x{\frac {35-12x^{2}}{35-33x^{2}}}+O(x^{7})}$

郎之萬逆函數的泰勒級數為：^[5]

${\displaystyle L^{-1}(x)=3x+{\tfrac {9}{5}}x^{3}+{\tfrac {297}{175}}x^{5}+{\tfrac {1539}{875}}x^{7}+\dots }$

高溫極限

當 ${\displaystyle x\ll 1}$ 時，即${\displaystyle \mu _{B}B/k_{B}T}$ 很小，磁矩可以由居里定律近似：

${\displaystyle M=C\cdot {\frac {B}{T}}}$

其中 ${\displaystyle C={\frac {Ng^{2}J(J+1)\mu _{B}^{2}}{3k_{B}}}}$ 為常數， ${\displaystyle g{\sqrt {J(J+1)}}}$ 為有效波爾磁子數目。

強場極限

當 ${\displaystyle x\to \infty }$，布里淵函數的值趨於 1，材料的磁化強度飽和，磁矩的取向完全沿外場方向，於是有

${\displaystyle M=Ng\mu _{B}J}$

參考文獻

1. C. Kittel, Introduction to Solid State Physics (8th ed.), pages 303-4 ISBN 978-0-471-41526-8
2. Darby, M.I. Tables of the Brillouin function and of the related function for the spontaneous magnetization. Brit. J. Appl. Phys. 1967, 18 (10): 1415–1417. Bibcode:1967BJAP...18.1415D. doi:10.1088/0508-3443/18/10/307.
3. Michael Rubinstein and Ralph H. Colby. Polymer Physics. Oxford University Press. 2003: 76. ISBN 978-0-19-852059-7.
4. Cohen, A. A Padé approximant to the inverse Langevin function. Rheologica Acta. 1991, 30 (3): 270–273. doi:10.1007/BF00366640.
5. Johal, A. S.; Dunstan, D. J. Energy functions for rubber from microscopic potentials. Journal of Applied Physics. 2007, 101 (8): 084917. Bibcode:2007JAP...101h4917J. doi:10.1063/1.2723870.