圖冊

在數學，特別是在拓撲學中，一個圖冊（英語：atlas）描述了一個流形如何裝備一個微分結構。每一小塊由一個卡（英語：chart）給出（也稱為坐標卡，coordinate chart，或局部坐標系，local coordinate system）。以圖冊來定義流形的概念是由夏爾·埃雷斯曼於1943年所提出。

「轉移函數」重新導向至此。關於描述系統輸入與輸出之間關係的函數，請見「傳遞函數」。

卡

在給出圖冊形式定義之前，我們回憶起流形M上一個卡（區圖）定義為從M的一個開集${\displaystyle U}$到${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中開集V的一個同胚映射${\displaystyle \varphi }$。

圖冊的定義

那麼流形M上一個圖冊是一族M上的卡${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\}}$，使得定義域蓋住了整個M。

轉移映射

如果${\displaystyle (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })}$與${\displaystyle (U_{\beta },\varphi _{\beta })}$是M的兩個卡使得${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$非空，則定義了轉移映射（transition map）

${\displaystyle \varphi _{\alpha ,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$, ${\displaystyle \varphi _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.}$

注意到因為${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$與${\displaystyle \varphi _{\beta }}$都是同胚，轉移映射也是同胚。所以，轉移映射已經賦予了某種相容性，使得從一個卡上的坐標系變到另一個卡上的坐標系是連續的。

現在，我們說兩個有重疊的卡${\displaystyle (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })}$與${\displaystyle (U_{\beta },\varphi _{\beta })}$是光滑協調的如果他們之間的轉移映射是從歐幾里得空間到自身的無限可微的。

定義了這樣概念以後，如果M上一個圖冊中任意兩個有重疊的卡之間的轉移映射是光滑協調的，則稱這樣的圖冊為光滑圖冊。

M上兩個光滑圖冊${\displaystyle {\mathcal {A}}}$與${\displaystyle {\mathcal {B}}}$，如果任意${\displaystyle {\mathcal {A}}}$中卡與${\displaystyle {\mathcal {B}}}$中所有重疊的卡都是光滑協調的，則稱${\displaystyle {\mathcal {A}}}$與${\displaystyle {\mathcal {B}}}$是光滑協調的。如果這樣，則${\displaystyle {\mathcal {A}}\cup {\mathcal {B}}}$也是M上一個光滑圖冊。這給出了一個等價關係，這樣我們便可以考慮光滑協調圖冊等價類，我們稱為極大圖冊。一個流形M與一個極大圖冊一起稱為有一個光滑結構。在高維，拓撲流形可能具有不同的光滑結構。第一個例子是約翰·米爾諾發現的怪球面，一個流形同胚於7維球面但不能微分同胚。

一般地，用流形的極大圖冊做計算是不實用的，我們只需要選定一個特定的光滑圖冊。定義從一個流形到另一個流形的光滑映射時需要用到極大圖冊。

轉移映射的可微性條件可以弱化，所以我們可以只要求轉移函數為k-次連續可微；或者加強，所以我們要求轉移映射為實解析的。相應地，這便給出了流形上的${\displaystyle C^{k}}$或解析結構。類似地，我們可以定義複流形要求轉移映射為全純的。

參考文獻

• Lee, John M. Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. 2006. ISBN 978-0-387-95448-6.

• Sepanski, Mark R. Compact Lie Groups. Springer-Verlag. 2007. ISBN 978-0-387-30263-8.

外部連結

• Atlas（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Rowland, Todd