在數學及其相關領域中,一個對象具有完備性(英語:Completeness),即它不需要添加任何其他元素,這個對象也可稱為完備的或完全的。更精確地,可以從多個不同的角度來描述這個定義,同時可以引入完備化這個概念。但是在不同的領域中,「完備」也有不同的含義,特別是在某些領域中,「完備化」的過程並不稱為「完備化」,另有其他的表述,請參考代數閉域、緊化或哥德爾不完備定理。
- 在泛函分析中,一個拓撲向量空間的子集被稱為是完全的,如果的擴張在中是稠密的。如果是可分空間,那麼也可以導出中的任何向量都可以被寫成中元素的(有限或無限的)線性組合。更特殊地,在希爾伯特空間中(或者略一般地,在線性內積空間(inner product space)中),一組標準正交基就是一個完全而且正交的集合。
- 在序理論和相關的領域中,如格和疇(域理論)中,全序性(completeness)一般是指對於偏序集存在某個特定的上確界或下確界。值得特別注意的是,這個概念在特定的情況下也應用於完全布爾代數,完全格和完全偏序。並且一個有序域被稱為完全的,如果它的任何在這個域中有上界的非空子集,都有一個在這個域中的最小上界;注意這個定義與序理論中的完全有界性(bounded complete)有細小的差別。在同構的意義下,有且僅有一個完全有序域,即實數。
- 在數理邏輯,一個理論被稱為完備的,如果對於其語言中的任何一個句子,這個理論包括且僅包括或。一個系統是相容的,如果不存在同時和非的證明。哥德爾不完備定理證明了,包含皮亞諾公理的所有公理系統都是不可能既完備又相容的。下面還有一些邏輯中關於完備性的定義。
- 在證明論和相關的數理邏輯的領域中,一個形式的演算相對於一個特定的邏輯(即相對於它的語義)是完備的,如果任何由一組前提根據語義導出的陳述,都可以從這組前提出發利用這個演算語法地導出。形式地說,導出 。一階邏輯在這個意義下是完備的。特別地,所有邏輯的重言式都可以被證明。即使在經典邏輯中,這與前述的完備性是不同的(即一個陳述和否定陳述對於這個邏輯而言不可能是重言式)。相反的概念被稱為可靠性(soundness)。
- 在計算複雜度理論中,一個問題對於一個複雜度類,在某個給定類型的歸約下是完全的(完備 (複雜度)),如果在中,並且中的任何問題利用該歸約都可以化歸到。例如,NP完全問題在NP類和多項式時間和多對一歸約的意義下是完全的。
此條目沒有列出任何參考或來源。 (2020年7月3日) |
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