有序域

在數學的一個分支代數中，有序域是一個全序關係通過加法和乘法運算不被改變的域。有序域最常見的例子是實數。

定義

一個滿足下面兩個條件的、擁有全序關係${\displaystyle \leq }$的域${\displaystyle (K,+,\cdot )}$被定義為有序域：對於任何${\displaystyle K}$中的元素${\displaystyle a,b,c}$以下兩個條件獲得滿足：

• 若${\displaystyle a\leq b}$，則${\displaystyle a+c\leq b+c}$。
• 若${\displaystyle 0\leq a}$且${\displaystyle 0\leq b}$，則${\displaystyle 0\leq a\cdot b}$。

大於0的元素被稱為是正的，小於0的元素被稱為是負的。

特性

由以上定義可以直接推導出以下特性（${\displaystyle a,b,c,d}$是${\displaystyle K}$的元素）：

• 一個正的元素的負數是負的，一個負的元素的負數是正的：即任何${\displaystyle K}$中的${\displaystyle a}$，假如${\displaystyle a\neq 0}$則${\displaystyle -a<0<a}$或${\displaystyle a<0<-a}$。
• 不等式可以相加：${\displaystyle a\leq b}$和${\displaystyle c\leq d}$則${\displaystyle a+c\leq b+d}$。
• 不等式可以與正元素相乘：${\displaystyle a\leq b}$和${\displaystyle 0\leq c}$則${\displaystyle ac\leq bc}$。
• 平方數不是負的：${\displaystyle 0\leq a^{2}}$，尤其${\displaystyle 0<1}$。
• 通過數學歸納法可以推導出任何一的有限的和是正的：${\displaystyle 0<1+1+\cdots +1}$。

結構

所有有序域都具有特徵數0。這個結論直接出於上述的最後一個特性${\displaystyle 0<1+1+\cdots +1}$。

每個有序域的子域也是有序域。任何含特徵數0的域其最小子域與有理數同構，且這個子域的排序與${\displaystyle \mathbb {Q} }$一致。

假如一個有序域中的任何元素都介於兩個有理數之間的話，則該域具有阿基米德性質。比如實數是具有阿基米德性質的，而超實數則不具有。

有序域${\displaystyle K}$的排序可用來定義${\displaystyle K}$的拓撲空間，這個拓撲空間可由${\displaystyle \{x\in K\mid x<a\}}$和${\displaystyle \{x\in K\mid x>a\}}$作為準基來生成，稱之為序拓撲。加法和乘法運算相對於這個拓撲空間是連續的。

例子

• 有理數${\displaystyle \mathbb {Q} }$組成最小的有序域
• 實數${\displaystyle \mathbb {R} }$和其中的任何部分域
• 超實數