安培環路定律

安培環路定律^[1]（英語：Ampère's circuital law）常直接簡稱為「安培定律」，是由安德烈-馬里·安培於1826年提出的一條靜磁學基本定律。

此條目頁的主題是載流導線與其產生的磁場之間的關係。關於描述兩條載流導線相互作用的力的定律，請見「安培力定律」。

本條目中，向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小則用 ${\displaystyle r\,\!}$ 來表示。

安德烈-馬里·安培。

安培環路定律表明了：在真空中載流導線所載有的穩恆電流，與磁感應強度沿著環繞導線的任意閉合迴路（環路，closed loop）^{[註 1]}的路徑積分（環場積），兩者之間的關係為

${\displaystyle \oint _{\mathbb {C} }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I_{\text{enc}}}$；

其中，${\displaystyle \mathbb {C} }$是環繞著導線的閉合迴路，${\displaystyle \mathbf {B} }$是磁感應強度（又稱為B場），${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$是微小線元素向量，${\displaystyle \mu _{0}}$是磁常數，${\displaystyle I_{\text{enc}}}$是閉合迴路${\displaystyle \mathbb {C} }$所圍住的電流。

亦即，在真空中的穩恆電流會產生穩恆磁場，而磁感應強度B沿任意環繞載流導線的閉合路徑的線積分值（環場積），等於該選取的環路（安培環路）所包圍的總電流值（各個電流的代數和）乘以真空磁導率。

1861年，詹姆斯·馬克士威又將這方程式重新推導一遍，使得符合電動力學條件，並且發表結果於論文《論物理力線》內。馬克士威認為，含時電場會生成磁場，假若電場含時間，則前述安培定律方程式不成立，必須加以修正。經過修正後，新的方程式稱為馬克士威-安培方程式，是馬克士威方程組中的一個方程式，以積分形式表示為

${\displaystyle \oint _{\mathbb {C} }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}\int _{\mathbb {S} }\left(\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }$；

其中，${\displaystyle \mathbb {S} }$是邊緣為${\displaystyle \mathbb {C} }$的任意曲面，${\displaystyle \mathbf {J} }$是穿過曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$的電流的電流密度，${\displaystyle \mathbf {D} }$是電位移，${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} }$是微小面元素向量。

右手定則

載流迴圈所產生的磁場方向可以使用右手定則來判斷。其方法為將拇指外的四根手指向手掌彎的方向視為磁場方向，則拇指所指的方向即為電流的方向。

安培右手定則：將右手的大拇指指向電流${\displaystyle I}$方向，再將四根手指握緊電線，則彎曲的方向決定磁場${\displaystyle \mathbf {B} }$的方向

右手定則也可以用來辨明一條電線四周磁場的方向。對於這用法，右手定則稱為「安培右手定則」，或「安培定則」。如右圖，安培右手定則表明，假若將右手的大拇指朝著電線的電流方向指去，再將四根手指握緊電線，則四根手指彎曲的方向為磁場的方向。

原版安培環路定律

一條載流導線所載有的電流會產生磁場。

安培環路定律的歷史原版形式，連結了磁場與源電流。這定律可以寫成兩種形式，積分形式和微分形式。根據克耳文－斯托克斯定理（即ℝ³上的斯托克斯公式），對於任意向量${\displaystyle \mathbf {F} }$，

${\displaystyle \int _{\mathbb {S} }\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$。

所以，這兩種形式是等價的。

積分形式

電流${\displaystyle I}$在一個曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$上的通量，等於磁場${\displaystyle \mathbf {B} }$沿著${\displaystyle \mathbb {S} }$的邊緣閉合迴路${\displaystyle \mathbb {C} }$的路徑積分。採用國際單位制（後面會講述CGS單位制版本），原版安培環路定律的積分形式可以寫為^[2]：

${\displaystyle \oint _{\mathbb {C} }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I}$。

請注意到這方程式有些模糊之處，需要特別澄清：

• 第一，邊界曲線${\displaystyle \mathbb {C} }$的正向與曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$的側符合右手規則。^{[注 1]}

• 第二，（固定${\displaystyle \mathbb {C} }$，）定理之成立與以${\displaystyle \mathbb {C} }$為邊界的${\displaystyle \mathbb {S} }$的選擇無關。^{[注 2]}

安培環路定律可由必歐-沙伐定律和磁場的疊加性證明（請參閱必歐-沙伐定律）。在靜磁學中，安培環路定律的角色與高斯定律在靜電學的角色類似。當系統組態具有適當的對稱性時，我們可以利用這對稱性，使用安培環路定律來便利地計算磁場。例如，當計算一條直線的載流導線或一個無限長螺線管的磁場時，可以採用圓柱坐標系來匹配系統的圓柱對稱性。

微分形式

根據克耳文－斯托克斯定理，這方程式也可以寫為微分形式。只有當電場不含時間的時候，也就是說，當電場對於時間的偏微分等於零的時候，這方程式才成立。採用國際單位制，這方程式表示為

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }$。

磁場${\displaystyle \mathbf {B} }$的旋度等於（產生該磁場的）傳導電流密度${\displaystyle \mathbf {J} }$。

電流分類

電流可以細分為自由電流和束縛電流，而束縛電流又可分類為磁化電流和電極化電流。以方程式表示，總電流密度${\displaystyle \mathbf {J} }$是

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J_{f}+J_{M}+J_{P}} }$；

其中，${\displaystyle \mathbf {J} _{f}}$是自由電流密度或傳導電流密度，${\displaystyle \mathbf {J} _{M}}$是磁化電流密度，${\displaystyle \mathbf {J} _{P}}$是電極化電流密度。

從微觀而言，所有的電流基本上是一樣的。但是，由於實用原因，物理學家會將電流分類為自由電流和束縛電流，對於每一類電流有不同的處理方式。例如，束縛電流通常發生於原子尺寸。物理學家或許想要使用較簡單但適用於較大尺寸狀況的理論。因此，較微觀的安培定律，以B場${\displaystyle \mathbf {B} }$和微觀電流（包括自由電流和束縛電流）來表達的定律，有時候會被替代為等價的形式，以附屬磁場（又稱為H場）${\displaystyle \mathbf {H} }$和自由電流來表達的形式。後面證明段落，會有詳細的關於自由電流和束縛電流的定義，與兩種表述等價的證明。

自由電流

通常在教科書內所提及的單獨的「電流」二字，都是指的自由電流，即自由載流子（電子及陰陽離子）的定向移動。例如，通過一條導線或一個電池的電流。自由電流與後面提到的束縛電流明顯不同，後者出現於可以被磁化或電極化的宏觀物質裏（每一種物質都會或多或少地被電極化或磁化）。

磁化電流

當一個物質被磁化的時候（例如，將此物質置入外磁場），電子仍舊會束縛於它們所屬的原子。但是，它們的物理行為會有所改變（會與感受到的磁場耦合），產生微觀電流。將這些電流總合在一起，會有如同宏觀電流一般的效應，環繞於磁化物體內部或表面。稱這電流為磁化電流，是束縛電流的一部分。稱磁化電流的密度為「體磁化電流密度」${\displaystyle \mathbf {J} _{M}}$，用方程式定義為

${\displaystyle \mathbf {J} _{M}\ {\stackrel {def}{=}}\ \nabla \times \mathbf {M} }$；

其中，${\displaystyle \mathbf {M} }$是磁化強度（單位體積的磁偶極矩）。

電極化電流

束縛電流的另外一種來源是電極化電流。感受到電場的作用，可電極化物質內的正束縛電荷和負束縛電荷會以原子距離相互分離。假設電場隨著時間而變化，束縛電荷也會隨著時間而移動，因而產生「電極化電流」，稱其密度為「電極化電流密度」${\displaystyle \mathbf {J} _{P}}$，用方程式定義為

${\displaystyle \mathbf {J} _{P}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {P} }$是電極化強度。

注意到電極化強度的定義式

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {P} \ {\stackrel {def}{=}}\ -\rho _{b}}$；

其中，${\displaystyle \rho _{b}}$是「體束縛電荷密度」。

取電極化電流密度的散度：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} _{P}={\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \cdot \mathbf {P} )}$。

所以，電極化電流密度與體束縛電荷密度的關係為

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} _{P}=-{\frac {\partial \rho _{b}}{\partial t}}}$。

原版安培環路定律的不足處

原版安培環路定律只適用於靜磁學。在電動力學裏，當物理量含時間，有些細節必須仔細檢查。思考安培方程式，

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }$；

其中，${\displaystyle \mathbf {B} }$是B場，${\displaystyle \mu _{0}}$是磁常數，${\displaystyle \mathbf {J} }$是總電流。

取散度於這方程式，則會得到

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\nabla \cdot \mathbf {J} }$。

應用一個向量恆等式，旋度的散度必定等於零。所以，

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=0}$。

這意味著電流密度的散度等於零：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =0}$。

在靜磁學內，這是正確的。但是，出了靜磁學範圍，當電流不穩定的時候，這就不一定正確了。

一個正在充電的電容器，左邊的圓形金屬板，被一個假想的封閉圓柱表面${\displaystyle \mathbb {S} }$包圍。這圓柱表面的右邊表面${\displaystyle \mathbb {R} }$處於電容器的兩塊圓形金屬板之間，左邊表面${\displaystyle \mathbb {L} }$處於最左邊。沒有任何傳導電流通過表面${\displaystyle \mathbb {R} }$，而有電流${\displaystyle I}$通過表面${\displaystyle \mathbb {L} }$。

舉個經典例子，如圖右，一個正在充電的電容器，其兩片金屬板會隨著時間分別累積異性電荷。設定表面${\displaystyle \mathbb {L} }$的邊緣為閉合迴路${\displaystyle \mathbb {C} }$。應用安培定律，

${\displaystyle \oint _{\mathbb {C} }\mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I_{\text{enc}}}$。

在這裡，${\displaystyle I_{\text{enc}}}$是通過任意曲面的電流，只要這曲面符合一個條件：邊緣為閉合迴路${\displaystyle \mathbb {C} }$。所以，這任意曲面可以是表面${\displaystyle \mathbb {L} }$，而${\displaystyle I_{\text{enc}}}$是${\displaystyle I}$；或者這任意曲面可以是封閉圓柱表面減去左邊表面${\displaystyle \mathbb {S} -\mathbb {L} }$，而由於通過這任意曲面的電流是${\displaystyle 0}$，${\displaystyle I_{\text{enc}}}$是${\displaystyle 0}$。選擇不同的曲面會得到不同的答案，這在物理學裏，是絕對不允許發生的事。

為了解決上述難題，安培環路定律必須加以修改延伸。應用流體力學的方法，馬克士威摹想磁場為電介質渦旋（vortex）大海，而位移電流即為大海內的電極化電流^[3]。在他於1861年發表的論文《論物理力線》裡面，馬克士威將位移電流項目加入了安培定律^[4]。

位移電流

主條目：位移電流

在自由空間內，位移電流跟電場隨著時間的變化率有關；而在電介質內，上述貢獻仍舊存在，但另外一個重要貢獻則與電介質的電極化有關。雖然電荷不能自由地運動於電介質，感受到外電場的作用，分子的束縛電荷可以做微小的運動。因此，正值和負值的束縛電荷會產生小距離的分離，造成電極化的增加，這可以用變量電極化強度${\displaystyle P}$來表達。電極化強度隨著時間的變化所產生的效應就是電極化電流。

位移電流密度${\displaystyle \mathbf {J} _{D}}$定義為^[2]

${\displaystyle \mathbf {J} _{D}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {D} }$是電位移，定義為

${\displaystyle \mathbf {D} \ {\stackrel {def}{=}}\ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$；

其中，${\displaystyle \varepsilon _{0}}$是電常數，${\displaystyle \mathbf {P} }$是電極化強度。

所以，位移電流密度分為兩個部分：

${\displaystyle \mathbf {J} _{D}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$。

這方程式右手邊的第一個項目是馬克士威修正項目，在任何地方都可存在，甚至在真空也可以存在。馬克士威修正項目並不涉及任何真實的電荷運動，但是，它描述一個含時電場的物理行為，就好像是真實的電流。第二個項目是電極化電流密度，與電介質內單獨分子的極化性有關。

原本定律的延伸：馬克士威-安培方程式

將馬克士威修正項目加入安培方程式：

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$  ;

或者，使用H場${\displaystyle \mathbf {H} }$和位移電流${\displaystyle \mathbf {D} }$來表達，

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$。

這就是馬克士威-安培方程式，可以補救原本安培環路定律的限制。

假若使用B場${\displaystyle \mathbf {B} }$的馬克士威-安培方程式，由於習慣，時常會稱${\displaystyle \varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$項目為位移電流密度。由於增添了位移電流，馬克士威能夠推論（正確地）光波是一種電磁波（請參閱電磁波條目）。

等價證明

馬克士威-安培方程式的等價證明

這裏證明方程式 ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$。 等價於方程式 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$， 注意到只處理微分形式，而不處理積分形式。但這已足夠了。因為，根據克耳文-斯托克斯定理，微分形式等價於積分形式。 回想電位移的定義式為 ${\displaystyle \mathbf {D} \ {\stackrel {def}{=}}\ \epsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$。 還有，${\displaystyle \mathbf {H} }$的定義式為 ${\displaystyle \mathbf {H} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} -\mathbf {M} }$。 將這兩個定義式代入H場${\displaystyle \mathbf {H} }$的馬克士威-安培方程式， ${\displaystyle \nabla \times \left({\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} -\mathbf {M} \right)=\mathbf {J} _{f}+\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$。 經過一番運算，可以得到 ${\displaystyle \nabla \times \left({\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \right)=\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mathbf {J} _{f}+\mathbf {J} _{M}+\mathbf {J} _{P}+\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$。 稍加整理，即可得到磁場${\displaystyle \mathbf {B} }$的馬克士威-安培方程式 ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$。

CGS單位制的安培方程式

採用CGS單位制，安培方程式的積分形式，包括馬克士威修正項目，可以寫為

${\displaystyle \oint _{\mathbb {C} }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}={\frac {1}{c}}\int _{S}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }$；

其中，${\displaystyle c}$是光速。

其微分形式可以寫為

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)}$。

備註

1. 在物理學上，英語 loop 和 circuit 在特殊語境下同義；在以下內文中，漢語對此術語 closed loop 的同義用詞另有：環路、迴路、迴圈、環線、迴線，或是閉環、閉路。

參見

• 電荷守恆定律

註釋

1. 沿著閉合迴路${\displaystyle \mathbb {C} }$線積分的方向有兩種（順時針方向及逆時針方向）。還有，${\displaystyle I\!\ }$是通過邊緣為閉合迴路${\displaystyle \mathbb {C} }$的曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$的淨自由電流，包括以某方向通過的電流，減去以相反方向通過的電流。但是，兩種方向中，任何一種都可以選為正值。為了澄清這些模糊之處，必須使用右手定則：當右手食指朝著線積分方向指去時，伸直的大拇指會指向微小面元素向量，設定朝著這方向流動的電流為正值。
2. 通過邊緣為閉合迴路${\displaystyle \mathbb {C} }$的曲面有無限多選擇（設想在一個閉合鐵環上懸跨着一個肥皂泡，假若輕輕地往這個肥皂泡吹一口氣，則泡沫的形狀會變形）。不過選擇哪一曲面都無所謂，因為任何邊緣為${\displaystyle \mathbb {C} }$的曲面皆可被證明為正確的選擇。

參考文獻

1. 存档副本. [2022-04-21]. （原始內容存檔於2022-04-21）.
2. David J Griffiths. Introduction to Electrodynamics 3rd Edition. Pearson/Addison-Wesley. 1999: 225, 321-325. ISBN 013805326X. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
3. Daniel M. Siegel. Innovation in Maxwell's Electromagnetic Theory: Molecular Vortices, Displacement Current, and Light. Cambridge University Press. 2003: 96-98. ISBN 0521533295.
4. James C. Maxweel. On Physical Lines of Force (PDF). Philosophical Magazine and Journal of Science. 1961 [2009-08-08]. （原始內容存檔 (PDF)於2009-06-12）.

外部連結

• Morgan, Kirby. 安培定律 (PDF). Project PHYSNET. [2009-08-08]. （原始內容 (PDF)存檔於2006-02-21）. 外部連結存在於|publisher= (幫助)
• Smith, Walter Fox. 安培定律之歌 (PDF). PhysicsSongs.org. [2009-08-08]. （原始內容存檔 (PDF)於2010-10-11）. 外部連結存在於|publisher= (幫助)