單位向量

數學上，賦范向量空間中的單位向量就是長度為 1 的向量。單位向量的符號通常有個「帽子」，如：${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} }$ ^[1]。歐幾里得空間中，兩個單位向量的點積就是它們之間角度的餘弦（因為它們的長度都是1）。

二維空間的單位向量

一個非零向量 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ 的正規化向量 ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$ 就是平行於 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ 的單位向量：

${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}}$

這裡 ${\displaystyle \|\mathbf {u} \|}$ 是 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ 的範數（長度）。正規化向量有時候也可以當作單位向量的同義詞。

一組基的元素通常被選為單位向量。在三維直角坐標系中，通常是 ${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ,\mathbf {\hat {j}} ,\mathbf {\hat {k}} }$，分別為沿着 ${\displaystyle x,y,z}$ 方向的單位向量：

${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

在其他坐標系中，如極坐標系、球坐標系，使用不同的單位向量，符號也會不一樣。

參考文獻

1. David Halliday; Robert Resnick; Jearl Walker. 《Principles of physics》. 約翰威立. 2011: 第44頁. ISBN 9780470561584.