切比雪夫連桿機構

切比雪夫連桿機構（Chebyshev linkage）是一種可將旋轉運動轉換為近似直線運動的連杆機構，屬於平面四杆機構，且其構形中有出現交叉四邊形。

切比雪夫連桿機構

切比雪夫連桿機構是由十九世紀的數學家巴夫努提·列沃維奇·切比雪夫所發明，他研究的主題是運動學的理論問題。其中一個問題是建構可以將旋轉運動轉換為近似直線運動的連桿。詹姆斯·瓦特在改進其蒸汽機時，也曾研究過此一主題^[1]。

直線運動的連桿會限制點P–杆L₃的中點–在二個極限位置中間的直線上。（L₁, L₂, L₃和L₄如圖所示）。在這段行程範圍中，P的軌跡近似直線，只有少許的偏移。各桿的比例為

${\displaystyle L_{1}:L_{2}:L_{3}=2:2.5:1=4:5:2.\,}$

點P是L₃的中點。上述關係確保當連桿在直線行程的極限位置時，L₃會是垂直的。^[2]

各桿長度的關係如下：

${\displaystyle L_{4}=L_{3}+{\sqrt {L_{2}^{2}-L_{1}^{2}}}.\,}$

可以證明若各桿的比例如上，則下式成立

${\displaystyle L_{4}=L_{2}.\,}$

且可以讓P有近似直線的軌跡。

運動方程

可以找出連桿隨輸入角變化的運動方程，隨著輸入角的變化，其速度及受力也隨之改變。輸入角可以是L₂相對水平線的角度，或是L₄相對水平線的角度。不論輸入角為何，都可以計算連桿L₃中點的軌跡，假設L₃靠右側的端點為A，靠左側的端點為B，而其中點為P，以L₂不動的端點為原點，可得A的方程^[2]：

${\displaystyle x_{A}=L_{2}\cos(\varphi _{1})\,}$

${\displaystyle y_{A}=L_{2}\sin(\varphi _{1})\,}$

點B的運動可以用另一個角來計算

${\displaystyle x_{B}=L_{1}-L_{4}\cos(\varphi _{2})\,}$

${\displaystyle y_{B}=L_{4}\sin(\varphi _{2})\,}$

最終，可以得到輸出角和輸入角之間的關係：

${\displaystyle \varphi _{2}=\arcsin \left[{\frac {L_{2}\,\sin(\varphi _{1})}{\overline {AO_{2}}}}\right]-\arccos \left({\frac {L_{4}^{2}+{\overline {AO_{2}}}^{2}-L_{3}^{2}}{2\,L_{4}\,{\overline {AO_{2}}}}}\right)\,}$

其中的${\displaystyle {\overline {AO_{2}}}}$是A點和O₂點之間的直線距離。

${\displaystyle {\overline {AO_{2}}}={\sqrt {L_{1}^{2}+L_{2}^{2}-2L_{1}L_{2}\cos(\varphi _{1})}}\,}$

依照上式可以寫出P點的方程。

${\displaystyle x_{P}={\frac {x_{A}+x_{B}}{2}}\,}$

${\displaystyle y_{P}={\frac {y_{A}+y_{B}}{2}}\,}$

輸入角

極限位置的說明

在維持近似直線運動的情形下，輸入角的極限分別是：

${\displaystyle \varphi _{\text{min}}=\arccos \left({\frac {4}{5}}\right)\approx 36.8699^{\circ }.\,}$

${\displaystyle \varphi _{\text{max}}=\arccos \left({\frac {-1}{5}}\right)\approx 101.537^{\circ }.\,}$

相關條目

切比雪夫λ連桿機構（藍色和綠色）可以產生幾乎直線的軌跡

• 切比雪夫λ連桿機構（英語：Chebyshev's Lambda Mechanism）
• 瓦特氏直線運動機構（英語：Watt's linkage），類似的直線機構。
• 直線運動機構
• Scott Russell機構（英語：Scott Russell linkage）
• 霍肯連桿機構（英語：Hoeckens linkage）：產生近似直線軌跡的四桿機構
• 波塞利耶-利普金機械：產生直線軌跡的八桿機構

參考資料

1. Cornell university （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） - Cross link straight-line mechanism
2. Gezim Basha （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） - Rotation to approximate translation using the Chebyshev Linkage

外部連結

• Cornell university, "How to draw a straight line, by A.B. Kempe, B.A." （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• A simulation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） using the Molecular Workbench software
• A Geogebra simulation of the linkage
• Kinematic analysis and synthesis of four-bar mechanisms for straight line coupler curves （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）