佩蘭數列

在數學上，佩蘭數列是一個整數數列，由起始數值${\displaystyle P_{0}=3;P_{1}=0;P_{2}=2}$和遞歸關係${\displaystyle P_{n}=P_{n-2}+P_{n-3}}$定義。

首數個值為3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, ... （OEIS:A001608）

佩蘭數列的遞歸關係和巴都萬數列一模一樣，只是起始值不同而已。

佩蘭偽質數

考慮數列中${\displaystyle n|P_{n}}$的數，有1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...除掉1外，這些數都是質數。

已經證明了對於所有質數，${\displaystyle p|P_{p}}$。但其逆定理並不成立，這樣的合成數稱為佩蘭偽質數，最小的一個是${\displaystyle 271441=521^{2}}$。（OEIS:A013998）

歷史

此數列早於1878年就被愛德華·盧卡斯研究（American Journal of Mathematics, vol 1, page 230ff）。1899年R. Perrin（L'Intermediaire Des Mathematiciens）又再研究。對此數列較詳盡的研究是Dan Shanks及Bill Adams在1982年發表的論文（Mathematics of Computation, vol 39, n. 159）。

生成函數

佩蘭數列的生成函數為：

${\displaystyle G(P(n);x)={\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}-x^{3}}}.}$

矩陣形式

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}^{n}*{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}P\left(n+2\right)&P\left(n+1\right)&P\left(n\right)\end{pmatrix}}}$

估計值

和巴都萬數列一樣，佩蘭數列的一般形式也和方程${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$的三個根有關：實根${\displaystyle p}$（即銀數）和兩個複數根${\displaystyle q}$、${\displaystyle r}$。

${\displaystyle P_{n}=p^{n}+q^{n}+r^{n}}$。

因為${\displaystyle q}$、${\displaystyle r}$的絕對值少於1，在${\displaystyle n}$很大的時候會很接近0，可以忽略：${\displaystyle P_{n}\approx p^{n}}$。顯然易見兩個連續佩蘭數之比會以銀數為極限，即約1.324718。