烏雷松引理

在拓撲學中，烏雷松引理，有時稱為「拓撲學中的第一非平凡事實」，通常用於構造正規空間上不同性質的連續函數。這個定理有廣泛的應用，因為所有的度量空間和緊豪斯多夫空間都是正規的。

這個引理是以帕維爾·薩穆伊洛維奇·烏雷松命名的。

正式表述

烏雷松引理說明，${\displaystyle X}$ 是一個正規拓撲空間，當且僅當只要 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的不交閉子集，就存在一個從 ${\displaystyle X}$ 到單位區間 ${\displaystyle [0,1]}$ 的連續函數：

${\displaystyle f:X\to [0,1]}$，

使得對於所有 ${\displaystyle a\in A}$，都有 ${\displaystyle f(a)=0}$，而對於所有 ${\displaystyle b\in B}$，都有 ${\displaystyle f(b)=1}$。

任何滿足這個性質的函數f都稱為烏雷松函數。

注意 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 以外的元素 ${\displaystyle x\notin A\cup B}$ 並不需要使得 ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ 或 ${\displaystyle f(x)\neq 1}$。這只在完備正規空間中才有可能。

烏雷松引理導致了其它拓撲空間，例如「吉洪諾夫性質」和「完全豪斯多夫空間」的表述。例如，這個引理的一個推論是：正規的T₁空間是吉洪諾夫空間。

證明

烏雷松的洋蔥函數。

對於每一個二進分數 ${\displaystyle r\in (0,1)}$，我們構造 ${\displaystyle X}$ 的一個開子集 ${\displaystyle U(r)}$，使得：

1. ${\displaystyle A\subseteq U(r)}$，且對於所有的 ${\displaystyle r}$，${\displaystyle U(r)\cap B=\varnothing }$；
2. 對於 ${\displaystyle r<s}$，${\displaystyle U(r)}$ 的閉包位於 ${\displaystyle U(s)}$ 內。

有了這些集合以後，我們便定義 ${\displaystyle f(x)=\inf _{x\in U(r)}r}$ 對於所有 ${\displaystyle x\in X}$。利用二進有理數是稠密的事實，便不難證明 ${\displaystyle f}$ 是連續的，且具有性質 ${\displaystyle f(A)\subseteq \{0\}}$ 和 ${\displaystyle f(B)\subseteq \{1\}}$。

為了構造集合 ${\displaystyle U(r)}$，我們還需要做更多事情：我們構造集合 ${\displaystyle U(r)}$ 和 ${\displaystyle V(r)}$，使得：

• 對於所有的 ${\displaystyle r}$，都有 ${\displaystyle A\subseteq U(r)}$ 且 ${\displaystyle B\subseteq V(r)}$；
• 對於所有的 ${\displaystyle r}$，${\displaystyle U(r)}$ 和 ${\displaystyle V(r)}$ 都是開集和不交的；
• 對於 ${\displaystyle r<s}$，${\displaystyle V(s)}$ 包含在 ${\displaystyle U(r)}$ 的補集之內，而 ${\displaystyle V(r)}$ 的補集包含在 ${\displaystyle U(s)}$ 之內。

由於 ${\displaystyle V(r)}$ 的補集是閉集，且含有 ${\displaystyle U(r)}$，因此從最後一個條件可以推出上面的條件 (2)。

我們使用數學歸納法。由於 ${\displaystyle X}$ 是正規的，我們便可以找出兩個不交的開集 ${\displaystyle U(1/2)}$ 和 ${\displaystyle V(1/2)}$，分別含有 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$。現在假設 ${\displaystyle n\geq 1}$，且集合 ${\displaystyle U(a/2^{n})}$ 和 ${\displaystyle V(a/2^{n})}$ 對於 ${\displaystyle a=1,\ldots ,2^{n}-1}$ 已經構造了。由於 ${\displaystyle X}$ 是正規的，我們便可以找出兩個不交的開集，分別含有 ${\displaystyle V(a/2^{n})}$ 的補集和 ${\displaystyle U((a+1)/2^{n})}$ 的補集。稱這兩個開集為 ${\displaystyle U((2a+1)/2^{n+1})}$ 和 ${\displaystyle V((2a+1)/2^{n+1})}$，並驗證以上的三個條件成立。

參考文獻

• proof of Urysohn's lemma. PlanetMath.