T1空间

在拓撲學和相關的數學分支中，T₁ 空間和 R₀ 空間是特定種類的拓撲空間。T₁ 和 R₀ 性質是分離公理的個例。

關於「T1」的其他含義，請見「T1」。

定義

設 X 是拓撲空間並設 x 和 y 是 X 中的點。我們稱 x 和 y 可以被「分離」如果它們每個都位於不包含另一個點的一個開集中。

• X 是 T₁ 空間，如果任何 X 中兩個獨特的點可以被分離。
• X 是 R₀ 空間，如果任何 X 中兩個拓撲可區分的點可以被分離。

T₁ 空間也叫做可及空間(accessible space)或Fréchet 空間，而 R₀ 空間也叫做對稱空間。（術語「Fréchet空間」在泛函分析中有完全不同的意義。為此偏好術語「T₁ 空間」。還有作為某種類型的序列空間的Fréchet-Urysohn空間的概念。術語「對稱空間」也有其他意義。）

性質

設 X 是拓撲空間。則下列條件等價：

• X 是 T₁ 空間。
• X 是 T₀ 空間和 R₀ 空間。
• 點在 X 中是閉合的；就是說給定任何 X 中點 x，單元素集合 {x} 是閉集。
• 所有 X 的子集是包含它的所有開集的交集。
• 所有有限集合是閉集。
• X 的余有限集合是開集。
• 在 x 的固定超濾子只收斂到 x。
• 對於所有 X 中的點 x 和所有 X 的子集 S，x 是 S 的極限點，當且僅當所有 x 的開鄰域包含無限多個 S 的點。

設 X 是拓撲空間。則下列條件等價：

• X 是 R₀ 空間。
• 給定任何 X 中的 x，{x} 的閉包只包含與 x 拓撲不可區分的點。
• 在 X 上的特殊化預序是對稱的（因此是等價關係）。
• 在 x 的固定超濾子只收斂到與 x 拓撲不可區分的點。
• X（它識別拓撲不可區分點）的柯爾莫果洛夫商是 T₁。
• 所有開集是閉集的併集。

在任何拓撲空間中，作為任何兩個點之間的性質，有下列蘊涵

「分離」的 ⇒ 「拓撲可區分」的 ⇒ 「獨特」的

如果第一個箭頭可反轉則空間是 R₀。如果第二個箭頭可以反轉則空間是 T₀。如果複合箭頭可以被反轉則空間是 T₁。明顯的，一個空間是 T₁ 當且僅當它是 R₀ 和 T₀ 二者。

注意有限 T₁ 空間必然是離散的（因為所有集合都是閉集）。

例子

• 謝爾賓斯基空間是 T₀ 而非 T₁ 的拓撲空間的一個簡單例子。
• 重疊區間拓撲是 T₀ 而非 T₁ 的一個例子。

• 在無限集合上的余有限拓撲是 T₁ 而非豪斯多夫(T₂) 的一個簡單例子。這是因為沒有餘有限拓撲的兩個開集是不相交的。特別是，設 X 是整數集合，並定義開集 O_A 是包含除了 A 的所有 X 的有限子集的那些 X 的子集。則給定不同的整數 x 和 y:

• 開集 O_{x} 包含 y 但不包含 x，而開集 O_{y} 包含 x 但不包含 y；
• 等價的，所有單元素集合 {x} 是開集 O_{x} 的補集，所以它是閉集；

所以通過上述每個定義結果的空間是 T₁。這個空間不是 T₂，因為任何兩個開集O_A 和 O_B 的交集是 O_A∪B，它永遠非空。可供選擇，偶整數集合是緊緻的但不是閉集，它不可能在豪斯多夫空間內。

• 上述例子可以稍微修改來建立雙點余有限拓撲，它是 R₀ 不是 T₁ 也不是 R₁ 的空間的例子。設 X 是整數的集合，並使用上例中 O_A 定義，定義對任何整數 x 開集 G_x 的子基為 G_x = O_{{x, x+1}} 如果 x 為偶數 和 G_x = O_{{x-1, x}} 如果 x 是奇數。則這個拓撲的基可給出自子基集合的有限交集：給定有限集合 A，X 的開集是

${\displaystyle U_{A}:=\bigcap _{x\in A}G_{x}.}$

結果的空間不是 T₀（因此不是 T₁），因為點 x 和 x + 1（對於偶數 x）是拓撲不可區分的；但是在其他方面它本質上等價於上個例子。

• 在代數簇上的Zariski拓撲是 T₁ 的。要看出來，請注意帶有局部坐標 (c₁,...,c_n) 的點是多項式 x₁-c₁, ..., x_n-c_n 的零集合。因此點是閉合的。但是這個例子作為非豪斯多夫(T₂) 的空間而知名。Zariski 拓撲本質上是余有限拓撲的例子。

• 所有完全不連通空間是 T₁，因為所有點都是連通單元因此是閉合的。

推廣到其他種類的空間

術語「T₁」、「R₀」和它們的同義詞還可以應用於拓撲空間的變體如一致空間、柯西空間和收斂空間。統一這些例子中概念的特徵是固定超濾子（或恆定網）的極限是唯一的（對於 T₁ 空間）或不別拓撲不可區分性之異時是唯一的（對於 R₀ 空間）。

這顯現出一致空間和更一般的柯西空間總是 R₀ 的，所以在這些情況下 T₁ 條件簡約為 T₀ 條件。但是 R₀ 自身在其他種類的收斂空間上也是有價值的，比如預拓撲空間。

參考文獻

• Willard, Stephen. General Topology. New York: Dover. 1998: 86–90. ISBN 0-486-43479-6..
• Folland, Gerald. Real analysis: modern techniques and their applications 2nd. John Wiley & Sons, Inc. 1999: 116. ISBN 0-471-31716-0..