三體問題 （英語：Three-body problem ）是天體力學 中的基本力學模型 。它是指三個質量 、初始位置和初始速度 都是任意的可視為質點的天體，在相互之間萬有引力的作用下的運動規律問題。[ 1]
初始位置在斜三角形頂點，且初始速度均為零的三個相同物體的近似軌跡。按照動量守恆定律，質心仍然存在。
三體問題是多體問題的一個特例。對於一般多體問題而言，不存在一般的解析解[ 2]
例如太陽系中，考慮太陽、地球和月球的運動，它們彼此以萬有引力相吸引，若假設三個星球都可設為質點，並且忽略其他星球的引力，太陽、地球和月球的運動即可以視為三體問題。
三體問題也被用於模擬經典力學或量子力學中三個粒子的運動狀態。
三體問題可以用三個質量為
m
i
{\displaystyle m_{i}}
r
i
=
(
x
i
,
y
i
,
z
i
)
{\displaystyle \mathbf {r_{i}} =(x_{i},y_{i},z_{i})}
牛頓運動方程 數學表示：
{
r
¨
1
=
−
G
m
2
r
1
−
r
2
|
r
1
−
r
2
|
3
−
G
m
3
r
1
−
r
3
|
r
1
−
r
3
|
3
,
r
¨
2
=
−
G
m
3
r
2
−
r
3
|
r
2
−
r
3
|
3
−
G
m
1
r
2
−
r
1
|
r
2
−
r
1
|
3
,
r
¨
3
=
−
G
m
1
r
3
−
r
1
|
r
3
−
r
1
|
3
−
G
m
2
r
3
−
r
2
|
r
3
−
r
2
|
3
.
{\displaystyle {\begin{cases}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {1} }&=-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {2} }&=-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {3} }&=-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}.\end{cases}}}
G
{\displaystyle G}
萬有引力常數 。[ 3] [ 4]
這個問題也可以用哈密頓形式 等價表示，此時可以用一組18個一階微分方程表示，這些方程分別對應於
r
i
{\displaystyle \mathbf {r_{i}} }
p
i
{\displaystyle \mathbf {p_{i}} }
d
r
i
d
t
=
∂
H
∂
p
i
,
d
p
i
d
t
=
−
∂
H
∂
r
i
,
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {r_{i}} }{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p_{i}} }},\qquad {\frac {d\mathbf {p_{i}} }{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {r_{i}} }},}
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
哈密頓量 ：
H
=
−
G
m
1
m
2
|
r
1
−
r
2
|
−
G
m
2
m
3
|
r
3
−
r
2
|
−
G
m
3
m
1
|
r
3
−
r
1
|
+
p
1
2
2
m
1
+
p
2
2
2
m
2
+
p
3
2
2
m
3
.
{\displaystyle {\mathcal {H}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{2}m_{3}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{3}m_{1}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |}}+{\frac {\mathbf {p_{1}} ^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\mathbf {p_{2}} ^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {\mathbf {p_{3}} ^{2}}{2m_{3}}}.}
圓型限制性三體問題是太陽系 中橢圓軌道的有效近似，這裡可以用兩個主天體的引力以及它們旋轉的離心效應而產生的電勢組合實現可視化（科里奧利效應 是動態的，此處未顯示）。然後，可以將拉格朗日點 視為合成表面上梯度為零的五個位置（用藍線顯示），表明此處處於平衡狀態。 當所討論的三個天體中﹐三體中其中兩體的質量極大，以至於第三體的質量幾乎不能對其造成任何擾動；或是有一個天體的質量與其他兩體的質量相比小到可以忽略時，可將三體問題簡化為二體問題的變型。這樣的三體問題稱為限制性三體問題 。[ 3] 無限小質量體 ﹐簡稱小天體 ；把另外兩個大質量的天體稱為有限質量體 。
設
m
1
,
2
{\displaystyle m_{1,2}}
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1})}
(
x
2
,
y
2
)
{\displaystyle (x_{2},y_{2})}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
{
d
2
x
d
t
2
=
−
m
1
x
−
x
1
r
1
3
−
m
2
x
−
x
2
r
2
3
,
d
2
y
d
t
2
=
−
m
1
y
−
y
1
r
1
3
−
m
2
y
−
y
2
r
2
3
.
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {x-x_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {x-x_{2}}{r_{2}^{3}}},\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {y-y_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {y-y_{2}}{r_{2}^{3}}}.\end{cases}}}
r
i
=
(
x
−
x
i
)
2
+
(
y
−
y
i
)
2
.
{\displaystyle r_{i}={\sqrt {(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}.}
在此數學表示中，運動方程通過坐標
x
i
(
t
)
,
y
i
(
t
)
{\displaystyle x_{i}(t),y_{i}(t)}
1499年，韋斯普奇 最早提出三體問題。他利用月球位置訊息來確定自己在巴西的位置。[ 5] 約翰·哈里森 發明的航海經線儀解決了確定經度的問題。但是，由於太陽和行星對月球繞地公轉的擾動效應，月球理論的準確性很低。
亞美利哥·韋斯普奇 和伽利略·伽利萊 隨後也提出了三體問題。伽利略確定所有天體的下落速度都是相同均勻的，但他並沒有將其應用到行星運動。[ 6]
1687年，當時艾薩克·牛頓 發表了《自然哲學的數學原理》 。在《原理》第一卷的第66號命題及其22個推論中，牛頓首次定義和研究了三個受相互擾動的重力吸引影響的巨大物體的運動問題。在第三冊的第25至35條命題中，牛頓將他的66號命題結果用於月球在地球和太陽的引力影響下的運動。[ 7]
讓·勒朗·達朗貝爾 和亞歷克西·克洛德·克萊羅 兩個長期競爭者都試圖找到該問題的某種通性。他們競相在1747年向法國皇家科學研究院提交了他們的第一批三體問題分析。「三體問題」（法語：Problème des trois Corps）這個名字至此開始廣泛使用。達朗貝爾於1761年發布的文章表明，該名稱最早使用於1747年。
1887年，為了祝賀自己的60歲壽誕，瑞典國王 奧斯卡二世 贊助了一項現金獎勵的競賽，徵求太陽系的穩定性問題的解答，這是三體問題 的一個變型。
法國數學家亨利·龐加萊 簡化了問題，提出了限制性三體問題：即三體中其中兩體的質量極大，以至於第三體的質量完全不能對其造成任何擾動。面對這個問題，龐加萊運用了他發明的相圖 理論，並且最終發現了混沌理論 。雖然龐加萊沒有成功給出一個完整的解答，不過他的工作令人印象深刻，因此他於1888年贏得了獎金。
龐加萊 發現這個系統的演變經常是混沌的，即如果初始狀態有一個小的擾動，例如個體的初始位置有一個小的變動，則後來的狀態可能會有極大的不同。如果這一小變動不能被測量儀器所探測，那麼我們將不能預測最終狀態為何。
著名數學家兼競賽裁判卡爾·魏爾施特拉斯 說：「這個工作不能真正視為對所求的問題的完善解答，但是它的重要性使得它的出版將標誌着天體力學的一個新時代的誕生。」
魏爾斯特拉斯 並不知道他自己的預測有多準確。在龐加萊的論文中，他描述了例如同宿點 《數學學報》 混沌理論 的開端。
19世紀末到20世紀初，科學家們研究使用短程二體吸力來解決三體問題的方法。19世紀後期，喬治·威廉·希爾 在用金星和水星的運動來研究限制性三體問題，不久進一步延伸到四體問題以計算月球繞地球軌道和行星環繞恆星軌道。
1907年[ 8] [ 9] 卡爾·弗里肖夫·松德曼 t 1/3 勒貝格測度 為0時才會出現）外，對所有實數t始終收斂。松德曼的研究成果收錄於1912年的瑞典《數學學報》 上[ 10]
1930年，數學家大衛·貝洛里奇 （David Beloriszky）指出，松德曼級數收斂極慢，如果將松德曼級數解用於天文觀測，則計算有效項數將至少達到107006800000000000000♠ 8000 000 [ 11]
1970年，前蘇聯理論物理學家維塔利·尼古拉耶維奇·葉菲莫夫 預測當三個相同的玻色子之間的對相互作用接近共振時，三體譜表現出無限的束縛態序列。這一預測於2006年證實，因此也稱為葉菲莫夫效應 [ 12]
20世紀70年代，米歇爾·赫農 羅傑A.布魯克 [ 13]
1979年，前蘇聯數學家L·K·巴巴德贊詹茲 （LK Babadzanjanz）發表論文《Existence of the continuations in the N-body problem（多體問題連續性的存在性）》[ 14] [ 15]
1985年，中國數學家汪秋棟 發表論文《多體問題全局解的存在性》
[ 16] [ 17]
三體問題在單周期T≃6.3259時的「8」字型解動畫。[ 18] 1993年，聖塔菲研究所的美國物理學家克里斯·摩爾 [ 19] 阿蘭·契納 理查德·蒙哥馬利 （Richard Montgomery）證明。
[ 20] [ 21]
2013年，貝爾格萊德物理研究所的物理學家米洛萬·烏瓦科夫 （Milovan Šuvakov）與維利科·德米特拉·伊諾維 （Veljko Dmitrašinović）發現了等質量零角動量三體問題的13種新的解族。
[ 2] [ 13]
2015年，物理學家安娜·胡多馬爾 （Ana Hudomal）發現了14種等質量零角動量三體問題的新解族。
[ 22]
2017年，中國計算機科學家李曉明 和中國數學家廖世俊 發現了669組等質量零角動量三體問題的新周期軌道。
[ 23] [ 24]
2018年，李曉明 和廖世俊 發布了234個不等質量「自由落體」三體問題的解。三體問題的自由落體公式從所有三個靜止的物體開始。正因為如此，質量在一個自由落體配置不在一個閉合的「循環」軌道上運行，而是沿着一個開放的「軌道」向前和向後運行。
[ 25]
2019年，愛丁堡大學菲利普·布林 （Philip Breen）等人訓練了一種用於三體問題的快速神經網絡。[ 26]
2022年，廖世俊 、楊宇 和李曉明 在《新天文學》 [ 27]
2023年，伊萬·赫里斯托夫 （Ivan Hristov）、拉多斯拉娃·赫里斯托娃 （Radoslava Hristova）、維利科·德米特拉希諾維奇 （Veljko Dmitrašinović）和谷川清隆 （Kiyotaka Tanikawa）發表了一篇關於等質量三體系統的周期軌道研究，發現了12409個不同軌道。[ 28]
由三個物體相互作用 構成的引力系統是混沌系統，不過由三個物體彈性相互作用構成的系統則不然。 三體序列的收斂半徑由到最近奇點的距離決定。因此，必須要考慮三體問題的可能奇點。三體問題中的唯二奇點是二元碰撞（兩個天體間的瞬時碰撞）和三元碰撞（三個天體間的瞬時碰撞），下面對此類狀態進行簡單討論。
實際上多體間不太可能發生碰撞（包括二體和三體），因為此前已證明碰撞狀態對應勒貝格測度 為0的一組初始狀態。然而，由於沒有對這一初始狀態進行研究，以避免相應解出現碰撞奇點。因此，松德曼的求解思路包含以下幾大要點:
通過適當的變量替換，用正則化 去分析二元碰撞以外的解。
用保羅·潘勒韋方程
證明如果L≠0，則不僅不存在三元碰撞，而且系統嚴格有界遠離三元碰撞。通過對微分方程使用柯西存在性定理，證明在以實軸為中心的複平面（符合柯西—柯瓦列夫斯卡婭定理
構造保角變換h(z)=
e
π
ω
2
Ω
{\displaystyle e^{\frac {\pi \omega }{2\Omega }}}
ω = t 1/3 | ω - ω* | ≤ Ω
{
ω
=
2
Ω
π
l
o
g
1
+
τ
1
−
τ
,
τ
=
e
π
ω
2
Ω
−
1
e
π
ω
2
Ω
+
1
.
{\displaystyle {\begin{cases}\omega ={\frac {2\Omega }{\pi }}log{1+\tau \over 1-\tau },\\\tau ={\frac {e^{\frac {\pi \omega }{2\Omega }}-1}{e^{\frac {\pi \omega }{2\Omega }}+1}}.\end{cases}}}
[ 29]
1985年，中國數學家汪秋棟 發表論文《多體問題全局解的存在性》[ 16] [ 17]
20組三體問題周期性特解示例。 1767年，萊昂哈德·歐拉 提出了三個周期解序列，其中三個物體在任意時刻均共線。具體內容參見歐拉三體問題
1772年，拉格朗日 找到了一系列由三個質點組成的等邊三角形解。這些解與歐拉的共線解一起構成了三體問題的中心構形 開普勒橢圓 運動。這四個解族是唯一有明確解析式的已知解族。在圓型限制性三體問題的特殊情況下，這些解在隨原點變換的旋轉坐標軸中稱為拉格朗日點 L1 , L2 , L3 , L4 和L5 ，其中L3 , L4 是拉格朗日對稱解的實例。
1892年至1899年，龐加萊 為限制性三體問題找到了一組無窮多的周期解，並將這組解推廣至一般三體問題。
1893年，恩斯特·邁塞爾 卡爾·伯勞 [ 30]
1967年，維克多·塞貝赫利 弗雷德里克·彼得斯 （C. Frederick Peters）利用數值積分理論建立了這個問題的最終逃逸模型，同時找到了附近的周期解。
[ 31]
20世紀70年代，米歇爾·赫農 和羅傑A.布魯克 分別找到了一套特殊解族，這些特殊解族構成了同系列特殊解族: 布魯克-赫農-哈德吉德梅特里奧解族 。在這一解族中，這三個物體都具有相同的質量，可以表現出逆行和直行兩種形式。在布魯克的一些解中，兩個物體延相同的軌道運行。[ 13]
儘管高精度需要大量的CPU時間，但是可以用數值積分在計算機上得到多體問題的任意高精度解。現已有人嘗試創建計算機程序，結合狹義相對論等現代物理學理論，以數字方式解決涉及電磁相互作用和引力相互作用的三體問題（以及擴展的多體問題）。此外，使用隨機遊走 理論，可以計算三體處於不同位置的概率。
2017年，廖世俊 和李曉明 發明了「精準數值模擬（the clean numerical simulation，CNS）」的混沌系統數值模擬新策略，用超級計算機成功獲得了695個等質量三體系統的周期軌道。[ 32]
2019年，布林 等人訓練了一種用於三體問題的快速神經網絡，該神經網絡使用數字積分器進行訓練。[ 26]
2023年，伊萬·赫里斯托夫 、拉多斯拉娃·赫里斯托娃 、維利科·德米特拉希諾維奇 和谷川清隆 發表了一篇關於等質量三體系統的周期軌道研究。其中，他們發現了12409個不同軌道。[ 28]
三體問題是多體問題的一個特例，它描述了多個物體如何在一種相互作用（如引力）下移動。這些問題具有收斂冪級數形式的全局解析解，正如松德曼（n = 3）和汪秋棟（n >3）所證明的那樣（詳見N體問題）。然而，松德曼-汪秋棟級數收斂得如此之慢，以至於它們沒有什麼實用性。[ 33] 數值分析 方法求取近似解，或在某些特殊情況下，使用經典三角級數 近似（參見多體模擬）。原子系統，例如原子、離子和分子，可以用量子多體問題來處理。在經典力學系統中，多體系統通常是指一個星系或星系團 ；行星系統，如恆星、行星及其衛星等也可視為多體系統。一部分可以用擾動 理論簡化處理，其中系統被視為二體系統加上一個假定導致偏離無擾動雙體軌跡的額外力。
中國作家劉慈欣 圍繞三體問題展開創作了《三體》三部曲中的第一部作品《三體》，向公眾科普了三體問題。
[ 34] [ 35]
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