質數階乘(又稱:素數階乘)是所有小於或等於該數的質數的積,自然數n的質數階乘,寫作n#。例如10以下的質數有:2、3、5、7,所以10# = 7×5×3×2 = 210。第n個質數階乘的值,寫作pn#。例:第三個質數為5,所以p3# = 5# = 5×3×2 = 30。
質數階乘與階乘不同於,質數階乘是質數乘積而階乘是自然數乘積。
質數階乘由Harvey Dubner定義並命名。
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/25px-Disambig_gray.svg.png)
此條目介紹的是
質數階乘。關於另一種用法,請見「
階乘質數」。
pn# 是計算第n個質數階乘的函數
質數階乘n#(紅色的)與 階乘n!(綠色的)的比較
第n個質數pn的質數階乘pn#定義為前n個質數的積:[1][2]
![{\displaystyle p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3257dd38ec4cd80bea8c31b9130fd076d2a16fe)
其中pk是第k個質數。
例如,p5#代表前五個質數的乘積:
![{\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf2d1e6a00a380d59cb8326eee731e0bf5cf7f1)
前幾個質數階乘pn#是:
- 2、 6、 30、 210、 2310、 30030、 510510、 9699690、 223092870、 6469693230、 ...(OEIS數列A002110)
並定義p0# = 1 為空積。
質數階乘pn#的漸進遞增為:
[2]
其中:
一般情況下,對於正整數n的一質數階乘n#(或稱作自然質數階乘)也可以被定義為:[1][3]
![{\displaystyle n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d19e079c5b3dfac474d2bf0cac0ecb26d2121895)
其中,π(n)是質數計數函數(OEIS數列A000720),表示小於或等於某個實數n的質數的個數。
它等於:
![{\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\n\times ((n-1)\#)&{\text{if }}n>1\land n{\text{ is prime}}\\(n-1)\#&{\text{if }}n>1\land n{\text{ is composite}}\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c2c1e487d1dd6f06b21c828fce1a451d274447)
例如,12# 代表質數≤ 12:
![{\displaystyle 12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3a0c1d33f1888d17dbcbe0cbd11f839e14d04bd)
因為π(12) = 5,所以這個算式也可以寫成:
![{\displaystyle 12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c890438ca8a1d886084ec012b8c89ef97eb9f3c6)
前幾個自然質數階乘n#是:
- 1、 2、 6、 6、 30、 30、 210、 210、 210、 210、 2310、 2310
不難發現當n為合成數時,n#的值總是與(n-1)#相同。例如上面提及的12# = p5# = 11#,因為12為合成數。
n#的自然對數是第一個切比雪夫函數,記為
或
。換句話說,若
是不大於n的質數的質數階乘,則
,或等價地,
[4]
質數階乘n#的漸進遞增為:
![{\displaystyle \ln(n\#)\sim n}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5687c78d0c159414051d7c9439085c080825be09)
質數階乘的概念可以用於證明素數是無限的。(參見證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式)
黎曼ζ函數在超過1的正整數可以質數階乘與 Jordan's totient function
表示:
More information n, n# ...
n
|
n#
|
pn
|
pn#
|
0
|
1
|
無質數
|
1
|
1
|
1
|
2
|
2
|
2
|
2
|
3
|
6
|
3
|
6
|
5
|
30
|
4
|
6
|
7
|
210
|
5
|
30
|
11
|
2310
|
6
|
30
|
13
|
30030
|
7
|
210
|
17
|
510510
|
8
|
210
|
19
|
9699690
|
9
|
210
|
23
|
223092870
|
10
|
210
|
29
|
6469693230
|
11
|
2310
|
31
|
200560490130
|
12
|
2310
|
37
|
7420738134810
|
13
|
30030
|
41
|
304250263527210
|
14
|
30030
|
43
|
13082761331670030
|
15
|
30030
|
47
|
614889782588491410
|
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- Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.