不屬於實數,是一個純虛數,同時也是複數位於複數平面,其實部為0、虛部為2[12],輻角為90度(
弧度)[13],其也能表達為
[14]:7或
[15]。
是一個高斯整數[16][17][18],高斯整數分解為
[19]:711,或
[20]:433,其中,1+i為2i的高斯質因數。[19]:711[21][22]:247
- 所有複數的可以表達為
之冪的線性組合。[23]換句話說若進位制以
為底數,則可獨一無二地表示全體複數[24]。該進制稱為2i進制,由高德納於1955年發現。[25]
- 複數的虛數部可以定義為複數與其共軛複數之差除以
的商,[26]換言之,則
。[2]:32
![{\displaystyle Im(z)={\frac {z-z^{*}}{2i}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b576b6bc60f9f5450aea1ff5a6af23f85d0ce4a)
- 正弦函數可以定義為純虛指數函數與其倒數之差除以
的商。[27][28]:41[2]:64
![{\displaystyle \sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9657455a3761eb46ef04aad42b79c3a92ba17ed4)
等於最小的質數和虛數單位的積,即
[15],其中
為第
個質數。
- 虛數單位和虛數單位的倒數相差
。
- 任意數與
相乘的意義為模放大兩倍並在複平面上以原點為中心逆時針旋轉90度。[14]:7[2]:20-21
的前幾次冪為1、 2i、 −4、 −8i、 16、 32i、 −64...[29],其會在實部和虛部交錯變換,其單位會在1、i、−1、−i中變化。其中,實數項為−4的冪[30] ,虛數的正值項為16的冪的2倍[31] 、虛數的負值項為16的冪的−8倍[32],因此這種特性使得
作為底數可以不將複數表達為實部與虛部就能表示全體複數,[29]並且有研究以此特性設計複數運算電路[33]。
是
的相反數,其平方根曾提議作為複數進位制的底數。[36]
More information 與
...
−1+3i
|
3i
|
1+3i
|
−1+2i
|
2i
|
1+2i
|
−1+i
|
i
|
1+i
|
與 相鄰的高斯整數示意圖
|
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![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/25px-Disambig_gray.svg.png)
「
3i」重新導向至此。關於與本條目同名之其他主題,請見「
3I」。
是在虛數軸正向距離原點3個單位的純虛數,是虛數單位的三倍,同時也是負九(−9)的平方根,與純虛數2i和4i相鄰、並與高斯整數−1+3i和1+3i相鄰。
的為虛數單位與質數3的乘積,其中,3也是高斯質數,因此
的高斯整數分解為![{\displaystyle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dcd61276328f7c7ec5bdc399b6e11114a2c68)
。
是一個高斯質數
[37],在虛數軸正向距離原點
個單位,其實部為一、虛部為2i,與純虛數2i相鄰、並與高斯整數1+3i、1+i和3+2i相鄰。
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