黎曼級數定理

黎曼級數定理（亦稱黎曼重排定理），是一個有關於無窮級數性質的數學定理，得名於19世紀德國著名數學家波恩哈德·黎曼。黎曼級數定理說明，如果一個實數項無窮級數若是條件收斂的，它的項在重新排列後，重新排列後的級數收斂的值可以收斂到任何一個給定的值，甚至發散。

許多有限項級數具有的性質，在一般的無窮級數不一定滿足，例如一般的有限項級數可以重新排列各項，其級數和不會改變，但在無窮級數中，只有絕對收斂的無窮級數才可以重新排列各項而不改變收斂值。

相關定義

給定無窮級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$，其部分和為：${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$。如果部分和的數列

${\displaystyle \left\{S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\dots \right\}}$

收斂於某個數值：${\displaystyle \ell }$，則級數收斂。也就是說，如果對於任何的${\displaystyle \epsilon >0}$，總存在一個整數N，使得如果${\displaystyle n\geq N}$，則

${\displaystyle \left|S_{n}-\ell \right\vert \leq \ \epsilon }$.

那麼級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$收斂。如果級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$收斂，但級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right\vert }$發散，則稱此級數是條件收斂的。^[1]:149

定理的陳述

假設${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$是一個條件收斂的無窮級數。對任意的一個實數${\displaystyle C}$，都存在一種從自然數集合到自然數集合的排列${\displaystyle \sigma :\,\,n\mapsto \sigma (n)}$，使得

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=C.}$

此外，也存在另一種排列${\displaystyle \sigma ':\,\,n\mapsto \sigma '(n)}$，使得

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma '(n)}=\infty .}$

類似地，也可以有辦法使它的部分和趨於${\displaystyle -\infty }$，或沒有任何極限。^[2]:192

反之，如果級數是絕對收斂的，那麼無論怎樣重排，它仍然會收斂到同一個值，也就是級數的和。^[2]:193

例子

交錯調和級數是條件收斂級數的一個經典的例子：

${\displaystyle A_{h}=\sum _{n}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$

收斂，而

${\displaystyle S_{h}=\sum _{n}{\bigg |}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}{\bigg |}=\sum _{n}{\frac {1}{n}}}$

是調和級數，它是發散的。雖然在標準的表示法中，交錯調和級數收斂於ln(2)，我們可以把它的項重新排列，使它收斂於任何一個數，甚至發散。例如，如果排列為以下的形式，

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots }$

那麼這時的和等於${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}-{\frac {1}{4n+2}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+2}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$

可以看出，它的和是原來的和的一半。^{[1]:153-154[3]:108-111}

趨近任一個實數

將交錯調和級數重排趨向1.5的步驟：從1開始，將正項按順序相加，直到超過1.5（紅點處），然後加入負項，直到低於1.5（綠點），再開始累加正項……

用不同的排列方法，可以讓交錯調和級數趨向任意一個給定的實數。事實上，由於調和級數${\displaystyle \sum _{n}{\frac {1}{n}}}$是發散的，它的部分和可以近似估計為：

${\displaystyle S_{N}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=\gamma +\ln N+o(1),}$

其中${\displaystyle o(1)}$表示一個當N趨於無窮大時的無窮小，${\displaystyle \gamma }$指歐拉常數。如果將調和級數${\displaystyle A_{h}}$中所有負項（也就是所有偶數項）相加，得到的級數會是：

${\displaystyle A_{h}^{-}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\cdots =-{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots \right)}$

它的部分和是：

${\displaystyle A_{N}^{-}=-\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2n}}=-{\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {1}{2}}\ln N+o(1),}$

因此所有正項相加的級數${\displaystyle A_{h}^{+}=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots }$的部分和是：

${\displaystyle A_{N}^{+}=A_{N}-A_{N}^{-}=\ln 2+{\frac {1}{2}}\left(\gamma +\ln N\right)+o(1),}$

這也是一個發散級數，趨向正無窮。因此，對任意給定的正實數${\displaystyle C}$，可以使用以下的算法來構造出趨向${\displaystyle C}$的重排級數${\displaystyle A^{\sigma }}$的每一項：

1. 從第一項起，將${\displaystyle A_{h}}$中的正項（奇數項）從前往後放入，一直放到超過${\displaystyle C}$為止：必定存在一個自然數${\displaystyle N_{1}}$，使得${\displaystyle A_{N_{1}-1}^{+}\leqslant C+<A_{N_{1}}^{+}}$（假設${\displaystyle A_{0}=0}$）。將第1至第${\displaystyle N_{1}}$項定義為：

   ${\displaystyle \forall k=1,2,\cdots ,N_{1},\,\,\sigma (k)=2k-1}$

2. 從第${\displaystyle N_{1}+1}$項開始，將${\displaystyle A_{h}}$中的負項（偶數項）從前往後放入，一直放到小於${\displaystyle C}$為止：必定存在一個自然數${\displaystyle N_{2}>N_{1}}$，使得${\displaystyle A_{N_{1}}^{+}+A_{N_{2}-N_{1}-1}^{-}\leqslant C+<A_{N_{1}}^{+}+A_{N_{2}-N_{1}}^{-}}$。將第${\displaystyle N_{1}+1}$至第${\displaystyle N_{2}}$項定義為：

   ${\displaystyle \forall k=N_{1}+1,N_{1}+2,\cdots ,N_{2},\,\,\sigma (k)=2k-2N_{1}}$

交替重複這兩步來重排級數，可以將重排級數的部分和${\displaystyle A_{N_{k}}^{\sigma }}$保持在${\displaystyle C}$上下，而因為${\displaystyle A_{N_{k}}^{\sigma }}$是重複第k步時首次「跨過」${\displaystyle C}$時候的值，因而它與${\displaystyle C}$的差距必定不超過「跨越」時的「步長」，也就是${\displaystyle {\frac {1}{N_{k}}}}$。隨着${\displaystyle N_{k}}$越來越大，${\displaystyle A_{N_{k}}^{\sigma }}$與${\displaystyle C}$的差距也會越來越趨近於0. 因此使用這個算法構造出來的重排級數${\displaystyle A^{\sigma }}$最終會收斂於${\displaystyle C}$。^[3]:111-113

證明

對一般的條件收斂級數，也可以用以上的算法來證明黎曼級數定理。上文中有關交錯調和級數的算法之所以成立，原因有二：首先，所有正項構成的級數發散到正無窮大，所有負項構成的級數發散到負無窮大，所以每次超出（低於）目標值${\displaystyle C}$以後，只要不停地累加，必然能夠再次低於（超出）目標值${\displaystyle C}$；其次，調和級數是由${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$相加而成，而隨着${\displaystyle n}$趨向無窮，${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$趨向於0，也就是說「步長」趨向0，所以最終能夠收斂。所以只需要證明，任何條件收斂級數都滿足這兩個性質：

1. 所有正項構成的級數和所有負項構成的級數都是發散的；
2. 級數的項隨着項數趨於無窮而趨於0.

就能證明黎曼級數定理成立了。

性質一：

設有給定的條件收斂級數${\displaystyle A=\sum _{n}a_{n}}$，級數和為${\displaystyle S}$。為了簡便起見，假設${\displaystyle A}$中每一項都不等於0（否則可以隨意將它們重排在任何地方）。${\displaystyle A}$中的正項和負項必定都有無窮多個。將${\displaystyle A}$中所有大於0的項按照它們原來在${\displaystyle A}$中的順序重新標號排列，可以得到由所有正項排列而成的級數${\displaystyle A^{+}=\sum _{n}a_{n}^{+}}$。同樣可以建立由所有負項排列而成的級數${\displaystyle A^{-}=\sum _{n}a_{n}^{-}}$。

${\displaystyle A^{+}}$是一個正項級數，所以它要麼收斂到某個定值，要麼發散到正無窮大。假設${\displaystyle A^{+}}$收斂到某個定值${\displaystyle S^{+}}$，那麼可以證明${\displaystyle A^{-}}$也是收斂級數，級數和為${\displaystyle S-S^{+}}$。因而可以證明，級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=A^{+}-A^{-}}$也是收斂級數，這與${\displaystyle A}$是條件收斂級數的設定矛盾。所以，${\displaystyle A^{+}}$發散到正無窮大。同理可證，${\displaystyle A^{-}}$發散到負無窮大。^[1]:154-155

性質二：

設${\displaystyle A=\sum _{n}a_{n}}$是一個條件收斂的級數，級數和為${\displaystyle S}$。這說明，級數${\displaystyle A}$的部分和${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}}$趨向極限${\displaystyle S}$。所以對任意${\displaystyle \epsilon >0}$，存在自然數${\displaystyle M>0}$使得對任意${\displaystyle N>M}$，都有：

${\displaystyle |S_{N}-S|<\epsilon .}$

所以對任意${\displaystyle N>M+1}$，

${\displaystyle |a_{N}|=|S_{N}-S_{N-1}|\leqslant |S_{N}-S|+|S_{N-1}-S|<2\epsilon .}$

這說明當${\displaystyle N}$趨於無窮大時，${\displaystyle a_{N}}$趨於0.

證明了性質一與性質二後，就可以用上文提到的算法構造趨向任何實數甚至發散的重排方式。對於任意實數${\displaystyle C}$，不妨假設${\displaystyle C\geqslant 0}$. 首先將${\displaystyle A^{+}}$的項按順序累加，直到部分和超過${\displaystyle C}$為止，然後再將${\displaystyle A^{-}}$的項按順序累加在其後，直到部分和小於${\displaystyle C}$為止，接着再將${\displaystyle A^{+}}$剩餘的項按順序累加在其後，直到部分和超過${\displaystyle C}$為止……這個算法可以一直進行下去，因為根據性質一，${\displaystyle A^{+}}$和${\displaystyle A^{-}}$都是發散的。而在執行算法的過程中，部分和與${\displaystyle C}$會越來越接近。因為無論是在部分和低於${\displaystyle C}$，逐項增加到超過${\displaystyle C}$的過程中，還是在部分和超過了${\displaystyle C}$，逐項減少到低於${\displaystyle C}$的過程中，部分和與${\displaystyle C}$的差距（絕對值）都不超過前一次「跨越」${\displaystyle C}$值的那一刻，部分和與${\displaystyle C}$的差距。而這個差距又小於等於部分和「跨越」${\displaystyle C}$值時的「步長」。假設第${\displaystyle k}$次「跨越」的是在累加第${\displaystyle N_{k}}$項的時候發生的，那麼直到第${\displaystyle k+1}$次「跨越」時，部分和與${\displaystyle C}$的差距都小於等於${\displaystyle a_{N_{k}}}$。隨着${\displaystyle k}$趨於無窮大，${\displaystyle N_{k}}$也趨於無窮大，因而根據性質二，${\displaystyle a_{N_{k}}}$趨於0，也就是說部分和與${\displaystyle C}$的差距趨於0。這等價於說重排後的級數${\displaystyle A^{\sigma }}$收斂於${\displaystyle C}$。

如果${\displaystyle C<0}$，只需要將算法中的正負項顛倒即可。如果將算法中第${\displaystyle k}$次累加正項要超越的值從${\displaystyle C}$改為${\displaystyle C+k}$，然後累加負項直到低於${\displaystyle C+k}$，再開始第${\displaystyle k+1}$次累加正項直到超越${\displaystyle C+k+1}$，如此以往，就能得到發散到正無窮大的重排級數。反之也能得到發散到負無窮大的重排級數。而如果將算法中每次累加正項要超過的值設為1，將每次累加負項要低於的值設為0，那麼重排級數的值將在0和1左右上下反覆擺動，從而不收斂於任何定值。這就是黎曼級數定理。^{[2]:193-197[1]:154-156}

推廣

此定理可推廣至斯坦尼茲定理（英語：Lévy–Steinitz theorem）。給定一個複數收斂級數∑ a_n，則重排後的級數∑ a_σ (n)之和有以下幾種可能：

• 級數∑ a_n為絕對收斂，所以任何重排後的級數和都收斂到同一個值。
• 級數∑ a_n為條件收斂。令S為所有重排級數之和的集合，則S要不為整個複數平面C，要不為複數平面上C上的一條線L

${\displaystyle L=\{a+tb:t\in \mathbf {R} \},\quad a,b\in \mathbf {C} ,\ b\neq 0}$

更一般的說，給定一個有限維度實向量空間E，考慮其向量組成的收斂級數，則重排級數之和的集合為E的仿射子空間。

參考來源

1. J. A. Fridy. Introductory analysis: the theory of calculus. Gulf Professional Publishing. 2000. ISBN 9780122676550.
2. S. Ponnusamy. Foundations of mathematical analysis. Springer. 2012. ISBN 9780817682927.
3. D. A. Brannan. A First Course in Mathematical Analysis. Cambridge University Press. 2006. ISBN 9781139458955.

• Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. 於2005年5月16日訪問。