在電磁學裏,電磁波方程式(英語:Electromagnetic wave equation)乃是描述電磁波傳播於介質或真空的二階微分方程式。電磁波的波源是局域化的含時電荷密度和電流密度,假若波源為零,則電磁波方程式約化為二階齊次微分方程式。這方程式的形式,以電場
和磁場
來表達為
、
;
其中,
是拉普拉斯算符,
是電磁波在真空或介質中傳播的速度,
是時間。
由於光波就是電磁波,
也是光波傳播的速度,稱為光速。在真空裏,
[公尺/秒],是電磁波傳播於自由空間的速度。
歷史
在詹姆斯·麥克斯韋的1864年論文《電磁場的動力學理論》內,麥克斯韋將位移電流與其它已成立的電磁方程式合併,因而得到了描述電磁波的波動方程式。最令人振奮的是,這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他這樣說[1]
:
這些殊途一致的結果,似乎意味著光波與電磁波都是同樣物質的屬性,並且,光波是按照著電磁定律傳播於電磁場的電磁擾動。
— 詹姆斯·麥克斯韋
理論推導
在真空裏,麥克斯韋方程組的四個微分方程式為
、(1)
、(2)
、(3)
;(4)
其中,
是真空磁導率,
是真空電容率。
分別取公式(2)、(4)的旋度,
、
。
應用一則向量恆等式(這裏,
應被理解爲對V的每個分量取拉普拉斯算子,卽拉普拉斯–德拉姆算子)
;
其中,
是任意向量函數。
將公式(1)、(3)代入,即可得到亥姆霍茲方程形式的波動方程式:
、(5)
;(6)
其中,
[公尺/秒]是電磁波傳播於自由空間的速度。
齊次的波動方程式的協變形式
電磁四維勢
是由電勢
與矢量勢
共同形成的,定義為
。
採用勞侖次規範:
。
前述那些齊次的波動方程式(5)、(6),可以按照反變形式寫為
;
其中,
是達朗貝爾算子,又稱為四維拉普拉斯算子。
彎曲時空中的齊次的波動方程式
齊次的電磁波方程式在彎曲時空中需要做兩處修正,分別是將偏導數替換為協變導數,以及增加了一項有關時空曲率的項。假設洛倫茨規範在彎曲時空中的推廣為
。
那麼,彎曲時空中的齊次的波動方程式為
;
其中,
是里奇曲率張量。
非齊次的電磁波方程式
追根究底,局域化的含時電荷密度和電流密度是電磁波的波源。在有波源的情形下,馬克士威方程組可以寫成一個非齊次的電磁波方程式的形式。正是因為波源的存在,使得偏微分方程式變為非齊次。
波動方程式的解
在齊次的電磁波方程式中,電場和磁場的每一個分量都滿足純量波動方程式
;(7)
其中,
是任意良態函數,
純量波動方程式的一般解的形式為
;
其中,
是任意良態函數,
是位置向量,
是時間,
是波向量,
是角頻率。
函數
描述一個波動,隨著時間的演化,朝著
的方向傳播於空間。將函數
代入純量波動方程式(7),可得到角頻率與波數的色散關係:
,
或者,角頻率一定大於零,但波數可以是負值:
。
正弦波
正弦函數和餘弦函數的曲線是不同相位的正弦曲線。
假設,函數
的波形為正弦波:
;
其中,
是實值波幅,
是初相位。
根據歐拉公式,
,
函數
也可以表達為一個複數的實值部分
。
以上方加有波浪號的符號來標記複值變數。設定複值函數
為
;
其中,
是複值波幅。
那麼,
;
純量波動方程式的正弦波解的形式為
的實值部分。任意涉及實函數
的線性方程式,都可以用複函數
來代替
。最後得到的複值答案,只要取實值部分,就可以得到描述實際物理的答案。但是,當遇到非線性方程式,必須先轉換為實值函數,才能夠確保答案的正確性。
由於指數函數比三角函數容易計算,在很多場合,都可以使用這技巧。
線性疊加
任意波動
可以表達為一個無限集合的不同頻率的正弦波的線性疊加:
。
所以,只要能得知單獨頻率的波動
(單色波)的表達式,就可以求算整個波動
的表達式。
齊次的電磁波方程式的解
單色正弦平面波的解
電磁波是橫波,電場方向與磁場方向相互垂直,又都垂直於傳播方向。
主條目:電磁波方程式的單色正弦平面波解
從前面的分析,可以猜到齊次的電磁波方程式的單色正弦平面波的解為:
、
;
其中,
、
分別為複值電場
和複值磁場
的複常數振幅向量。
這兩個方程式顯示出正弦平面波的傳播方向是
的方向。由於方程式(1)和(3),
、
,
電場和磁場垂直於波向量,波動傳播的方向。所以,電磁波是橫波。
由於法拉第電磁感應定律方程式(2),
。
將角頻率與波數的色散關係式
帶入:
。
所以,電場與磁場相互垂直於對方;磁場的大小等於電場的大小除以光速。
電磁波譜分解
電磁波譜顯示出不同種類的電磁波的頻率值域和波長值域。可見光譜只佔有寬廣的電磁波譜的一小部分。
由於馬克士威方程組在真空裡的線性性質,其解答可以分解為一集合的正弦波。將這集合的正弦波的疊加在一起,又可以形成原本的解答。這是傅立葉變換方法解析微分方程式的基礎概念。電磁波方程式的正弦波解的形式為
、
。
波向量與角頻率的關係為
;
其中,
是波長。
按照波長長短,從長波開始,電磁波可以分類為電能、無線電波、微波、紅外線、可見光、紫外線、X-射線和伽馬射線等等。普通實驗使用的光譜儀就足以分析從2 奈米到2500 奈米波長的電磁波。使用這種儀器,可以得知物體、氣體或甚至恆星的詳細物理性質。這是天文物理學的必備儀器。例如,氫原子會發射波長為21.12公分的無線電波。
圓柱對稱性解
原柱對稱形共軸傳輸線
如圖右,思考一條由半徑為
的無窮長的直導線,和半徑為
的無窮長的圓柱導電管,所組成的共軸傳輸線。假設這傳輸線與z-軸平行。由於共軸傳輸線的內部有一條直導線,不是空心的,它可以傳輸
和
的電磁橫波,採用圓柱坐標
,在傳輸線的內部空間,電場和磁場分別為[2]
、
。
這一組方程式顯示出電磁波方程式的圓柱對稱性解的一種形式。
球對稱性解
思考一個位於原點的振盪中的磁偶極矩
。這磁偶極矩會發射出電磁波,從原點往無窮遠輻射出去。採用球坐標
,則在離原點很遠的位置
,電場和磁場分別為[2]
、
。
這是一組滿足電磁波方程式的球面波方程式。
參閱
理論與實驗
應用領域
參考文獻
Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 411–412, 451–453. ISBN 0-13-805326-X.
- Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 0-7167-0810-8.
- Jackson, John D. Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. 1998. ISBN 0-471-30932-X.
- Landau, L. D., The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics: Volume 2), (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987). ISBN 0-08-018176-7.
- Maxwell, James C. A Treatise on Electricity and Magnetism. Dover. 1954. ISBN 0-486-60637-6.