贗矢量

贗矢量（英語：Pseudovector）也稱為偽向量，指的是在瑕旋轉下，除了隨之反射外，還會再上下翻轉的矢量（因為右手定則的關係）。矢量（極矢量）和贗矢量（軸矢量）都是廣義上的矢量，在一般旋轉下的特性相同。但更嚴格地說，矢量還要求在瑕旋轉下，除了空間反演外，不會再改變方向。

一個載有電流的線圈（黑色）會產生磁場（藍色）。若線圈的位置和電流都對應點線鏡面反射，其產生的磁場不會是原磁場的鏡面反射，會是原磁場反射後，再加以反向。線圈的位置和電流是向量，但產生的磁場是贗矢量^[1]

在三維空間中，贗矢量p可以表示為二個極矢量a和b的外積：^[2]

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} .\,}$

以此方式計算的p是贗矢量，其中一個例子是有向平面的法向量。有向平面可以用二個不平行的向量a和b來定義^[3]。向量a × b垂直此平面（和平面垂直的向量有二個，其方向恰好相反，可以用右手定則決定是哪一個），為一贗矢量。

許多物理量是贗矢量，例如磁感應強度、角速度等。在數學上，贗矢量是三維的二重向量，可以由此推得贗矢量的轉換規則。n維幾何代數（英語：Geometric algebra）的贗矢量是n − 1維代數的元素，可以表示為Λⁿ⁻¹Rⁿ。可以由贗矢量引申出贋純量及贋張量，在瑕旋轉下會比純量及張量多出一個負號。

物理例子

物理中贗矢量的例子包括有磁場、力矩、渦量及角動量。

一部要遠離的車，各輪子對一觀察者產生的角動量為向左的，這部車產生的鏡像，各輪子對同一觀察者產生的角動量也是向左的

考慮贗矢量角動量 L = r × p。假設開一部車前進，各輪子產生的角動量會朝左。若考慮車子的鏡像，角動量向量若以一般向量的觀點來看，其鏡像應該往右，但真正車子鏡像的角動量仍然往左（在鏡像中的車輪仍然往前進），因此在贗矢量反射後，會比一般向量多一個負號。

矢量和贗矢量之間的不同在研究物理系統的對稱性時很重要。考慮在一個z = 0平面上的線圈，上面有電流，會產生一個z方向的磁場，此系統在z平面的鏡相反射下是對稱（不變）的，磁場不會因鏡相反射而相反，但是若將磁場視為一個一般的向量，應該會隨鏡相反射而相反，其原因就是因為磁場是贗矢量，產生一個額外的負號，因此沒有反向。

相關條目

• 外代數
• 克利福德代數
• 定向 (數學)
• 可定向性
• 贗純量
• 贗張量

參考資料

1. Stephen A. Fulling, Michael N. Sinyakov, Sergei V. Tischchenko. Linearity and the mathematics of several variables. World Scientific. 2000: 343. ISBN 981-02-4196-8.
2. Aleksandr Ivanovich Borisenko, Ivan Evgenʹevich Tarapov. Vector and tensor analysis with applications Reprint of 1968 Prentice-Hall. Courier Dover. 1979: 125 [2014-08-20]. ISBN 0-486-63833-2. （原始內容存檔於2016-12-22）.
3. RP Feynman: §52-5 Polar and axial vectors （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） from Chapter 52: Symmetry and physical laws, in: Feynman Lectures in Physics, Vol. 1