變分法基本引理

在數學裏，特別是在變分法裏，變分法基本引理（fundamental lemma of calculus of variations）是一種專門用來變換問題表述的引理，可以將問題從弱版表述（weak formulation）（變分形式）改變為強版表述（微分形式）。

敘述

${\displaystyle C^{k}}$ 代表${\displaystyle k}$階導數連續（${\displaystyle k}$階光滑）的函數空間，${\displaystyle C^{\infty }}$代表無限光滑的函數空間。

變分法基本引理：

設 ${\displaystyle f(x)\in C^{\infty }[a,\ b]\,\!}$

若任意 ${\displaystyle h(x)\in C^{\infty }[a,\ b]\,\!}$ 滿足 ${\displaystyle h(a)=h(b)=0\,\!}$ 成立

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,h(x)\,dx=0\,\!}$

則 ${\displaystyle {\mbox{∀}}x\in (a,\ b):f(x)=0\,\!}$。

證明

設 ${\displaystyle f(x)\in C^{\infty }[a,\ b]\,\!}$ 且 ${\displaystyle f(x)\neq 0\,\!}$ ，

因為只要存在一個不滿足 ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,h(x)\,dx=0\,\!}$ 的 ${\displaystyle h(x)}$ ，就可以證明 ${\displaystyle f(x)=0\,\!}$ ，因此我們只須證明其中一個特例。

令 ${\displaystyle r(x)\,\!}$ 滿足下列兩個條件：

${\displaystyle r(a)=r(b)=0\,\!}$ ；

${\displaystyle {\mbox{∀}}x\in (a,\ b):r(x)>0\,\!}$ ；

並且令 ${\displaystyle h(x)=r(x)f(x)\,\!}$。

由 ${\displaystyle h(x)=r(x)f(x)\,\!}$ 可得到

${\displaystyle 0=\int _{a}^{b}f(x)h(x)\;dx=\int _{a}^{b}r(x)f(x)^{2}\;dx\,\!}$ 。

因為 ${\displaystyle r(x)\,\!}$ 在 ${\displaystyle (a,\ b)\,\!}$ 是正值，所以${\displaystyle f(x)\,\!}$ 必須恆等於 0 ，與假設 ${\displaystyle f(x)\neq 0\,\!}$ 矛盾。

故 ${\displaystyle {\mbox{∀}}x\in (a,\ b):f(x)=0\,\!}$ 。

應用

這引理可用來證明泛函

${\displaystyle J[f(t,y,{\dot {y}})]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(t,y,{\dot {y}})\,dt\,\!}$

的極值是歐拉-拉格朗日方程式

${\displaystyle {d \over dt}\left({\partial f(t,y,{\dot {y}}) \over \partial {\dot {y}}}\right)-{\partial f(t,y,{\dot {y}}) \over \partial y}=0\,\!}$

的弱解。

歐拉-拉格朗日方程式在經典力學和微分幾何佔有重要的角色。

參閱

• 拉格朗日力學
• 哈密頓原理
• 泛函分析

參考文獻

• Leitmann, George. The Calculus of Variations and Optimal Control: An Introduction. Springer. 1981. ISBN 0306407078.