泛函

泛函（functional）指以函數構成的向量空間為定義域，以實數或複數域為值域的「函數」，即某一個依賴於其它一個或者幾個函數確定其值的量，往往被稱為「函數的函數」。在泛函分析中，泛函也用來指一個從任意向量空間到標量域的映射。泛函中的一類特例線性泛函引發了對對偶空間的研究。泛函的應用可以追溯到變分法，其中通常需要尋找一個函數用來最小化某個特定泛函。在物理學上，尋找某個能量泛函的最小系統狀態是泛函的一個重要應用。

弧長泛函以可求長曲線組成的向量空間（${\displaystyle C([0,1],\mathbb {R} ^{3})}$的一個子集）為定義域，以實標量為輸出值。這是一個非線性泛函的例子。

黎曼積分是以從${\displaystyle \mathbb {R} }$到${\displaystyle \mathbb {R} }$的黎曼可積函數組成的向量空間為定義域的線性泛函。

設${\displaystyle S\ }$是由一些函數構成的集合。所謂${\displaystyle S\ }$上的泛函就是${\displaystyle S\ }$上的一個實值函數。${\displaystyle S\ }$稱為該泛函的容許函數集。

函數的變換某種程度上是更一般的概念，參見算子。

例子

設在 xOy 平面上有一簇曲線 ${\displaystyle y(x)}$, 其長度為${\displaystyle L=\int _{C}ds=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {1+{y'}^{2}}}dx}$。

顯然，${\displaystyle y(x)}$不同, ${\displaystyle L}$也不同，即${\displaystyle L}$的數值依賴於整個函數${\displaystyle y(x)}$ 而改變。 ${\displaystyle L}$ 和函數 ${\displaystyle y(x)}$ 之間的這種依賴關係就稱為泛函關係。

性質

對偶性

觀察映射

${\displaystyle x_{0}\mapsto f(x_{0})}$

是一個函數，在這裡，${\displaystyle x_{0}}$是函數f的自變量。

同時，將函數映射至一個點的函數值

${\displaystyle f\mapsto f(x_{0})}$

是一個泛函，在此${\displaystyle x_{0}}$是一個參數

只要 ${\displaystyle f}$ 是一個從向量空間至一個佈於實數的體的線性轉換，上述的線性映射彼此對偶，那麼在泛函分析上，這兩者都稱作線性泛函。

參見

• 線性泛函
• 最優化
• 張量

參考資料

• Rowland, Todd. Functional. MathWorld.
• Lang, Serge, III. Modules, §6. The dual space and dual module, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 Revised third, New York: Springer-Verlag: 142–146, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, MR1878556