若爾當曲線定理

在拓撲學中，若爾當曲線（英語：Jordan curve）是平面上的非自交環路（又稱為簡單閉曲線，英語：simple closed curve）。若爾當曲線定理（英語：Jordan curve theorem）說明每一條若爾當曲線都把平面分成一個「內部」區域和一個「外部」區域，且任何從一個區域到另一個區域的道路都必然在某處與環路相交。它由奧斯瓦爾德·維布倫在1905年證明。

若爾當曲線定理的說明。若爾當曲線（黑色）把平面分成一個「內部」區域（淺藍色）和一個「外部」區域（粉紅色）。

定理和證明

準確的數學表述如下：

設c為平面R²上的一條若爾當曲線。那麼c的像的補集由兩個不同的連通分支組成。其中一個分支是有界的（內部），另外一個是無界的（外部）。c的像就是任何一個分支的邊界。

若爾當曲線定理表面上是明顯的，但要證明它十分困難。對於較簡單的閉曲線，例如多邊形，是比較容易證明的，但要把它推廣到所有種類的曲線，包括無處可微的曲線如科赫曲線，便十分困難。該定理對於球面上的若爾當曲線也成立，但對於環面上的若爾當曲線不成立。

第一個發現該定理的是伯納德·波爾查諾，他觀察到這不是一個自明的定理，而需要證明。第一個給出證明的是卡米爾·若爾當，該定理就是以它命名的（後來發現他的證明仍有漏洞）。過了超過半個世紀，奧斯瓦爾德·維布倫最終在1905年給出了一個滿意和嚴格的證明。後來又發現了一些其它的證明，有些較為簡單（但相對來說仍然複雜）。

推廣

若爾當曲線定理可以推廣到更高的維數：

設X為從球面Sⁿ到Rⁿ⁺¹的一個連續的單射。那麼X的像的補集由兩個不同的連通分支組成。其中一個分支是有界的（內部），另外一個是無界的（外部）。X的像是它們的公共邊界。

若爾當曲線定理還有另外一種推廣，它說明平面上的任何若爾當曲線，視為從圓S¹到平面R²的映射，都可以延伸到平面的一個同胚。這個表述比若爾當曲線定理更強。這個推廣在更高的維數不成立，亞歷山大角球（英語：Alexander horned sphere）就是一個著名的反例。亞歷山大角球的補集的無界分支不是單連通的，因此亞歷山大角球的映射不能延伸到整個R³。

若爾當曲線定理的另外一個推廣說明，如果M是Rⁿ⁺¹的任何緊緻、連通、無界的n維子流形，那麼M便把Rⁿ⁺¹分成兩個區域：一個是緊的，另外一個不是緊的。

參見

• 卡米爾·若爾當

參考文獻

• Oswald Veblen, Theory on plane curves in non-metrical analysis situs, Transactions of the American Mathematical Society 6 (1905), pp. 83–98.
• Ryuji Maehara, The Jordan curve theorem via the Brouwer fixed point theorem, American Mathematical Monthly 91 (1984), no. 10, pp. 641–643.

外部連結

• 若爾當曲線定理的完整的6,500行正式證明 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 與若爾當曲線定理有關的歷史材料 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 若爾當曲線定理的一個簡單的證明 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（PDF）