華東師範大學數學系. 数学分析 上册 第三版. 高等教育出版社. 2006: 第219頁.
由微積分基本性質,當被積函數在[a,b]上連續時,原函數在[a,b]上是可導的,而拉格朗日定理的假設是「f(x)在(a,b)內可導"
所以原文中「知F(x)在[a,b]上連續,在[a,b]內可導,應用拉格朗日中值定理,可得:」應該改為
「知F(x)在[a,b]上連續,在(a,b)內可導,應用拉格朗日中值定理,可得:」
否則無法排除ξ只取在a或者b上的可能
此說法並不嚴密。現根據以上對原定理的證明,來解釋為什麼可以改為 。
因為 在 上連續,所以在 上有最大值 和最小值 。設,,,,如果,則是常值函數,任取即可。如果 ,由於函數連續且有一點使 ,所以由積分性質有
,即
同理可得 ,故有
由連續函數的介值定理,至少存在一點⊂(或⊂),使得,即
註:以上內容參考延邊大學出版社《數學分析輔導及習題精解 華東師大.第四版 上冊》