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李冶数学著作 来自维基百科,自由的百科全书
《測圓海鏡》是中國金代數學家李冶的代表作,於公元1248年寫成。全書一共十二卷,由一百七十個問題組成。書中對勾股容圓的問題進行了探討,系統地建立了「天元術」(列一元方程的方法)來解決幾何問題。《測圓海鏡》被認為是中國現存的第一部天元術著作。 天元術是對具體問題列出方程而後求解的方法。天元術於宋金時期開始發展,到元朝達到一個高峰。在《測圓海鏡》問世之前,中國雖有以天人代表未知數用以布列方程和多項式的工作,但早期著作已失,僅存被引用的一些片段。李冶在《測圓海鏡》中系統而概括地總結了天元術,用「天元」代替未知數,列出方程,然後求解。
《測圓海鏡》由卷一的圓城圖式、說明各個長度名稱的總率名號、給出各個長度數值的今問正數、囊括了各個量之間關係的公式總集識別雜記;卷二至卷十二,共一百七十個問題及其解答所組成。書中一共有148問,182種方法是以天元術列出方程以求解,其中列出一次方程31個,二次方程106個,三次方程24個,四次方程20個,六次方程1個[1]
圓城圖式(右圖)是全書的總括圖解,由一個直角三角形(古時稱為勾股形)、它的內切圓以及一些特定的點和直線組成。其中的頂點、圓心和交點都用某個漢字來指代。最大的三角形的三個頂點分別是天、地、乾,天地乾三角形的內切圓圓心稱為心。過心的垂直線從上至下分別和三角形、內切圓交於日、南、北三點。過心的水平線從左至右分別和三角形、內切圓交於川、東、西三點。過東的垂直線和過南的水平線都是內切圓的切線,它們分別交天地乾三角形於艮、坤、山、月四點,而相交於巽點。乾坤巽艮構成一個正方形。過月的垂直線交東西水平線於青點,交地乾邊於泉點。過山的水平線交南北垂直線於朱點,交天乾邊於金點。而這兩條線相交於泛點。最後過日的水平線交天乾邊於旦點,過川的垂直線交地乾邊於夕點。總共22個點。
全書所研究的三角形一共有15個,全部是以天地線之間的線段為弦(斜邊)的直角三角形。總率名號給出了這些三角形和線段的名稱。它們分別是:
序號 | 三角形名稱 | 對應的三個頂點 | 弦 | c股 | b勾 | a
---|---|---|---|---|---|
1 | 通 | 天地乾 | 通弦(天地) | 通股(天乾) | 通勾(地乾) |
2 | 邊 | 天西川 | 邊弦(天川) | 邊股(天西) | 邊勾(西川) |
3 | 底 | 日地北 | 底弦(日地) | 底股(日北) | 底勾(地北) |
4 | 黃廣 | 天山金 | 黃廣弦(天山) | 黃廣股(天金) | 黃廣勾(山金) |
5 | 黃長 | 月地泉 | 黃長弦(月地) | 黃長股(月泉) | 黃長勾(地泉) |
6 | 上高 | 天日旦 | 上高弦(天日) | 上高股(天旦) | 上高勾(日旦) |
7 | 下高 | 日山朱 | 下高弦(日山) | 下高股(日朱) | 下高勾(山朱) |
8 | 上平 | 月川青 | 上平弦(月川) | 上平股(月青) | 上平勾(川青) |
9 | 下平 | 川地夕 | 下平弦(川地) | 下平股(川夕) | 下平勾(地夕) |
10 | 大差 | 天月坤 | 大差弦(天月) | 大差股(天坤) | 大差勾(月坤) |
11 | 小差 | 山地艮 | 小差弦(山地) | 小差股(山艮) | 小差勾(地艮) |
12 | 皇極 | 日川心 | 皇極弦(日川) | 皇極股(日心) | 皇極勾(川心) |
13 | 太虛 | 月山泛 | 太虛弦(月山) | 太虛股(月泛) | 太虛勾(山泛) |
14 | 明 | 日月南 | 明弦(日月) | 明股(日南) | 明勾(月南) |
15 | 叀 | 山川東 | 叀弦(山川) | 叀股(山東) | 叀勾(川東) |
其中弦是三角形斜邊,股是三角形的長直角邊(這裡是豎直的),勾是三角形短直角邊(這裡是水平的)。(代表通勾,代表通股,代表通弦,余類推)。
今問正數一節給出了圓城圖式中每個線段的長度。其中以內切圓的半徑為120步,作為標準。
例子:「通弦六百八十,勾三百二十,股六百;勾股和九百二十,較(兩者的差)二百八十;勾弦和一千,較三百六十;股弦和一千二百八十,較八十;弦較和九百六十,較四百;弦和和一千六百,較二百四十。」
15個勾股形中上高 = 下高;上平 = 下平,因此,15個勾股形中,只有13個勾股形是相異的。
《今問正數》共15個勾股形×13項=195項[2]。 ,列表如下。
識別雜記都是關於不同線段之間的幾何關係式。一共給出了692個公式。是全書的綱領。
識別雜記包含八項:
名目 | 定義 |
---|---|
內率 | |
外率 | |
虛率 | |
角差 | |
次差 | |
混同和 | |
傍差 | |
夎差 | |
夎和 |
此外還有諸弦,大小差,諸差,諸率互見,四位拾遺,拾遺。
一共692關係式,這些關係式完全是幾何定理,與具體數值無關。
舉例:第三條中「勾股和即弦黃和」一句就是:三角形兩直角邊之和等於斜邊加上內切圓直徑(「黃」指內切圓直徑)。這個命題可以由直角三角形的勾股定理推出:
後面出現的各問題,都根據這些公式中的相等關係而列出方程,然後求解。
李冶的692個公式中,有8個是錯誤的,只是因為數值吻合而被誤認為成立。
從第二卷開始,《測圓海鏡》中一共出現了一百七十個問題,它們都是圍繞着同一個題設背景而展開。 在第二卷開頭,李冶作出了以後題目公用的總假設:
假令圓城一所,不知周徑,四面開門,門外縱橫各有十字大道。其西北十字道頭定為乾地,其東北十字道頭定為艮地,其東南十字道頭定為巽地,其西南十字道頭定為坤地。所有測望雜法,一一設問如後。 |
這裡的圓城就是指天地乾三角形的內切圓,其方向按照圓城圖式裡面東南西北四個點的位置而定(注意北在下方,東在左邊,與現在通用的方位相反),所謂的「乾地」、「坤地」則是指圓城圖式裡面出現的乾點、坤點等等。以後的每個問題中要求的長度都是圓城的半徑或直徑。
接下來的問題都是已知某些線段的長度,問圓城的半徑或直徑。李冶在每一題的題目之後都先寫出解法(代數演算),再給出演草(代入數值的計算)。
開頭十個問題,不需要天元方程。清代數學李善蘭認為,第一個問題和《九章算術》的勾股容圓題目一樣,第二問至第十問就是《自序》中提到的「洞淵九容」[5]。但李冶原書或《四庫全書》李銳較本都沒有這九個問題的細草,李善蘭在《天算或問》一書中根據相似三角形原理求得各式,並以第二問為例闡明如下[6]:
又因:
所以
其餘類推。 。
勾股容圓
從第十四題開始,引入天元術,將所求的未知量設為「天元」,然後根據識別雜記中給出的公式構造出兩個天元式,另其相等,然後解方程得出答案。《測圓海鏡》中天元式的次序,高次冪在常數項之上,和《益古演段》,《四元玉鑒》的相反。
「或問出西門南行四百八十步有樹,出北門東行二百步見之。問答同前」。
內減天元半徑得股圓差:
又置乙東行步在地,內減天元,得勾圓差:
以勾圓差增乘股圓差得半段黃方冪:
又置天元冪以倍之,也為半段黃方冪;
因此,得
相消得:
解方程,得半徑。
標題文字 | 已知 | 未知數x | 方程 |
---|---|---|---|
1 | <, | 直接計算 | |
2 | , | d | |
3 | , | r | |
4 | , | d | |
5 | , | d | |
6 | , | r | |
7 | , | r | |
8 | , | r | |
9 | , | r | |
10 | , | r | |
11 | , | r | |
12 | , | ||
13 | , | ||
14 | , | ||
15 | , | r | |
16 | , | 用洞淵九容公式計算 | |
17 | , | 用洞淵九容公式計算 |
。
第三卷邊股問與第四卷同次第底勾問成對偶。
問 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
第二邊 |
大股18問:已知。[8]
問 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
第二邊 |
大勾18問:
問 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
已知 | |||||||||||||||||||
第二邊 |
明叀前18問;求直徑d。[9]
問 | 已知 |
---|---|
1 | , |
2 | , |
3 | , |
4 | , |
5 | , |
6 | , |
7 | , |
8 | , |
9 | , |
10 | , |
11 | , |
12 | , |
13 | , |
14 | ,, |
15 | , |
16 | , |
17 | , |
18 | , |
問 | 已知 |
---|---|
1 | ,, |
2 | ,, |
3 | , |
4 | , |
5 | , |
6 | , |
7 | , |
8 | , |
9 | , |
10 | ,, |
11 | ,, |
12 | , |
13 | ,, |
14 | , |
15 | , |
16 | , |
草曰:[11]
已知
:大斜四問[12]
問 | 已知 |
---|---|
1 | , |
2 | , |
3 | , |
4 | , |
:大和8問
問 | 已知條件 |
---|---|
1 | ,, |
2 | ,, |
3 | ,, |
4 | ,, |
5 | ,, |
6 | ,, |
7 | ,, |
8 | ,, |
:三事和8問[14]
問 | 已知 |
---|---|
1 | , |
2 | , |
3 | , |
4 | , |
5 | , |
6 | , |
7 | , |
8 | , |
第十七問,十八問取自《洞淵算書》。
問 | 已知 |
---|---|
1 | , |
2 | , |
3 | , |
4 | , |
5 | , |
6 | , |
7 | , |
8 | , |
9 | , |
10 | , |
11 | , |
12 | , |
13 | ,, |
14 | , |
15 | , |
16 | , |
17 | (取自《洞淵算書》) |
18 | 取自《洞淵算書》 |
問 | 已知 |
---|---|
1 | ,= |
2 | ,= |
3 | , |
4 | , |
5 | , |
6 | ,, |
7 | ,, |
8 | ,, |
9 | , |
10 | , |
11 | ,, |
12 | ,, |
13 | ,,, |
14 | ,,,, |
天元術並非李冶的獨創,而是從金代起便在中國北方開始萌芽。據祖頤在《四元玉鑒後序》中的記載,李冶以前研究天元術的學者有北宋蔣周撰《益古集》、李文一撰《照膽》,石信道撰《鈐經》、劉汝諧撰《如積釋鎖》等書,世人才知道有天元。此外朱世傑《四元玉鑒》引用北宋《洞淵九容細草》兩道題,其中有「立天元一」[17]。後來李德載撰《兩儀群英集臻》兼有地元。1306年元刻本《陰陽備用三元節要》三卷下有天元,地元[18]。但是這些早期天元術的著作已經失傳。宋代《楊輝算法》保留蔣周《益古集》的一些條段法的題目,沒保留天元術的內容。現存元刻本《陰陽備用三元節要》只有一條二元術題,《測圓海鏡》是現存最早的系統地講述天元術的著作。
到了明代,天元術因為艱深難懂而少人研究,幾近失傳。明代唐順抄錄過《測圓海鏡》,但不懂天元術;顧應祥曾經撰寫《測圓海鏡分類釋術》,但完全沒有明白天元術中天元為未知數的含義,因而將《測圓海鏡》中關於立天元列方程的演算全部刪去,只留下用開方術解方程的過程,以便後人學習[19]。李儼認為宋金元發展起來的天元術至此已被遺忘[20]。《測圓海鏡分類釋術》一書,雖然刪除了天元術內容,但保存了全部算題,也補入正確的幾何學解法,使得幾近失傳的《測圓海鏡》,得以從新流傳[21]。
十八世紀時,隨着西洋算學傳入中國,李冶等人的天元術著作才被後來的數學家重新發現。戴東原從《永樂大典》中輯錄出李冶《測圓海鏡》[22];清朝梅瑴成(梅文鼎之孫)曾經研讀元學士李冶的《測圓海鏡》,對其中的天元之術感到不解,後來在研習西方的「借根方」法時發現所謂的「借根」就是「立天元」(都是設未知數),方才重新開始認識天元術[23][24]。之後,《四元玉鑒》等其它天元術著作也被重新認識。孔廣森曾校對《測圓海鏡》中的四章。乾隆三十八年(1773年),《四庫全書》收錄了李潢家藏本的《測圓海鏡》。1798年,清代大藏書家鮑廷博刊印的《知不足齋叢書》中收錄了李銳校勘的《測圓海鏡細草》十二卷[25]。之後又有焦循和李銳在研究了《測圓海鏡》、《益古演段》和《數書九章》後寫的《天元一釋》和《開方通釋》兩書,用較為明白的語言詳細解釋了李冶的天元術和秦九韶的正負開方術。1873年,張楚鍾發表《測圓海鏡通釋》對《識別雜記》中的幾百條定理,用幾何方法逐條證明。
1896年劉岳雲出版《測圓海鏡解》,發現《圓城圖式》中各線段的簡單加減關係,發表《諸率加減表》,此後李善蘭出版《測圓海鏡解》等[26]。他在另一篇著作《天算或問》中給出勾股容圓各公式的統一公式。其後陳維祺發表《各率及較泛積表》將《識別雜記》用「泛積」概念統一表示[27]。王季同在《九容公式》中進一步發展了陳維祺的成果,發現[28]
19世紀初,朝鮮數學家南秉哲著《海鏡細草解》。
1913年,法國學者L.van Hoe 介紹《測圓海鏡》。1982年,法國林力娜(K. Chemla)作論文 Etude du Livre Reflects des Mesuers du Cercle sur la mer de Li Ye,獲得博士學位。1983年,新加坡大學教授藍麗蓉發表 Chinese Polynomial Equations in the Thirteenth Century,論述《測圓海鏡》。
清代數學家對《測圓海鏡》給予很高評價。阮元認為《測圓海鏡》是「中土數學之寶書」,李善蘭稱讚它是「中華算書,無有勝於此者」。白尚恕說,《測圓海鏡》的成就,超過同時期的印度,阿拉伯和歐洲,「處於世界數學裡遙遙領先的地位」[29]
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