極限點(英語:Limit point)在數學中是指可以被集合S中的點[註 1]隨意逼近的點。[註 2]
這個概念有益的推廣了極限的概念,並且是諸如閉集和拓撲閉包等概念的基礎。實際上,一個集合是閉合的當且僅當他包含所有它的極限點,而拓撲閉包運算可以被認為是通過增加它的極限點來擴充一個集合。[註 3]
度量空間
自然的帶有由度量
生成的拓撲
;更仔細地說,是由以開球為元素的拓撲基所生成的拓撲,也就是
裡的開集都是某群開球的聯集。這樣對開球定義極限點的話,就會等價於對
定義(因為屬於某個開球等價於屬於某開集),換句話說,對度量空間可以作如下定義:
定義 —
是度量空間 ,且
;若
,且對所有
,存在
使得
,也就是
![{\displaystyle (x\in M)\wedge (\forall \epsilon >0)(\exists a\in A)[\,0<d(x,\,a)<\epsilon \,]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b568bd8de8af9cc711a64e8606dfb2699afe3c)
這樣稱
是
的聚集點(cluster point)或會聚點(accumulation point)
直觀上可理解為「可以用
裡的點(以度量
)無限制地逼近
」。應用上,
為定義域的聚集點也是函數極限能在
上有定義的前提條件。
在度量空間中,ω‐會聚點與普通的極限點定義等價
- 關於極限點的性質:
是
的極限點,當且僅當它屬於
\ {
}的閉包。
- 證明:根據閉包定義,某點屬於某集合的閉包,當且僅當該點的所有鄰域都和該集合相交。則有:x是
的極限點,當且僅當所有
的鄰域都包含一個非
的點屬於S,當且僅當所有
的鄰域含有一個點屬於
\ {x},當且僅當
屬於
的閉包。
的閉包具有下列性質:
的閉包等於
和其導集的併集。
- 證明:(從左到右)設
屬於
的閉包。若
屬於S,命題成立。若
,則所有
的鄰域都含有一個非
的點屬於
;也就是說,x是
的極限點,
。(從右到左)設
屬於S,則明顯地所有
的鄰域和
相交,所以
屬於
的閉包。若
屬於L(S),則所有
的鄰域都含有一個非
的點屬於S,所以
也屬於
的閉包。得證。
- 上述結論的推論給出了閉集的性質:集合
是閉集,當且僅當它含有所有它的極限點。
- 證明1:S是閉集,當且僅當
等於其閉包,當且僅當
=
∪ L(S),當且僅當L(S)包含於S。
- 證明2:設
是閉集,
是
的極限點。則
必須屬於S,否則
的補集為
的開鄰域,和
不相交。相反,設
包含所有它的極限點,需要證明
的補集是開集。設
屬於
的補集。根據假設,x不是極限點,則存在
的開鄰域U和
不相交,則U在
的補集中,則
的補集是開集。
- 孤點不是任何集合的極限點。
- 證明:若
是孤點,則{x}是只含有
的
的鄰域。
- 空間
是離散空間,當且僅當
的子集都沒有極限點。
- 證明:若
是離散空間,則所有點都是孤點,不能是任何集合的極限點。相反,若
不是離散空間,則單元素集合{x}不是開集。那麼,所有{x}的鄰域都含有點y ≠ x,則
是
的極限點。
- 若空間
有密着拓撲,且
是
的多於一個元素的子集,則
的所有元素都是
的極限點。若
是單元素集合,則所有
\
的點仍然是
的極限點。
- 說明:只要
\ {x}非空,它的閉包就是X;只有當
是空集或
是
的唯一元素時,它的閉包才是空集。
為T1空間,則
為
的極限點等價於
的每個鄰域皆包含無限多個
的點。[註 4]