極點 (複分析)

亞純函數的極點是一種特殊的奇點，它的表現如同${\displaystyle z-a=0}$時${\displaystyle {\frac {1}{(z-a)^{n}}}}$的奇點。也就是說，如果當${\displaystyle z\to a}$時，函數${\displaystyle f(z)\to \infty }$，那麼${\displaystyle f(z)}$在${\displaystyle z=a}$處便具有極點。

伽瑪函數的絕對值。從左面可以看出，在極點處函數的值趨於無窮大。而在圖像的右面，則沒有極點。

定義

假設${\displaystyle U}$ 是複平面${\displaystyle \mathbb {C} }$的開子集，${\displaystyle a}$是${\displaystyle U}$的一個元素，${\displaystyle f:U-\{a\}\to \mathbb {C} }$是一個在定義域內全純的函數。如果存在一個全純函數${\displaystyle g:U\to \mathbb {C} }$和一個非負整數${\displaystyle n}$，使得對於所有${\displaystyle U-\{a\}}$內的${\displaystyle z}$，都有

${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}}$

那麼${\displaystyle a}$便稱為${\displaystyle f}$的極點。滿足以上條件的最小整數${\displaystyle n}$稱為極點的階。一階的極點又稱為簡單極點。

性質

1.函數f在極點a的極限值是${\displaystyle \infty }$.也就是說

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}f(z)=\infty }$

2.由性質1.可知,如果令函數

${\displaystyle h(z)={\frac {1}{f(z)}}}$

那麼代入定義可知：

${\displaystyle h(z)=(z-a)^{m}{\frac {1}{g(z)}}}$

其中${\displaystyle {\frac {1}{g(z)}}}$在${\displaystyle z=a}$點解析。那麼有${\displaystyle z=a}$是${\displaystyle h(z)}$的m階零點。

3.由於${\displaystyle g}$是全純函數，${\displaystyle f}$可以表示為：

${\displaystyle f(z)={\frac {a_{-n}}{(z-a)^{n}}}+\cdots +{\frac {a_{-1}}{(z-a)}}+\sum _{k\geq 0}a_{k}(z-a)^{k}.}$

這是一個洛朗級數，它的主部分是有限的。全純函數${\displaystyle \sum _{k\geq 0}a_{k}(z-a)^{k}}$稱為${\displaystyle f}$的正則部分。因此，點${\displaystyle a}$是${\displaystyle f}$的${\displaystyle n}$階極點，當且僅當${\displaystyle f}$在${\displaystyle a}$處的羅朗級數中所有低於${\displaystyle -n}$的次數都為零，而${\displaystyle -n}$次項不為零。

評論

如果函數${\displaystyle f}$的一階導數在${\displaystyle a}$處具有簡單極點，則${\displaystyle a}$是${\displaystyle f}$的一個分支點（英語：Branch point），但反過來不成立。

一個既不是極點又不是分支點的非可去奇點稱為本性奇點。

除了一些孤立奇點外全純的函數，且所有的奇點均為極點，則該函數稱為亞純函數。

參見

• 零點
• 留數

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Pole. MathWorld.
• 零點和極點的教程