方波

方波是一種非正弦曲線的波形，通常會於電子和訊號處理時出現。理想方波只有「高」和「低」這兩個值。

正弦波、方波、三角波與鋸齒波的形態

起源與應用

在現實世界，方波只有有限的頻寬。由於一般電子零件只有高（1）和低（0）兩個值，方波就自然產生，並於數位開關電路中廣泛應用。因為方波可以快速從一個值轉至另一個（即0→1或1→0），所以方波就用作時鐘訊號來準確地觸發同步電路。但是如果用頻率定義域來表示方波，就會出現一連串的諧波。這可能會產生電磁波和電流脈波，影響周圍的電路，產生雜訊和錯誤，對一些精密儀器如類比數位資料轉換器（analog-to-digital converter）影響十分明顯，所以設計會使用正弦波作時鐘訊號來代替方波。

在音樂上，方波被視為空洞的聲音，因此會以減法合成過濾方波作管樂的基礎。另外，電吉他的失真效果（distortion）把波形的外層削去，令波形趨向成為方波。失真越大會令波形越像方波。

一個「簡單二能級萊德馬契函數」（simple two-level Rademacher function）就是一個方波。

驗証方波

方波和鋸齒波不同。鋸齒波包含所有整數諧波成分（integer harmonics），方波只有奇數諧波成分。

我們可以傅立葉級數表達一個理想方波，這個傅立葉級數有無限個項，如下式：

${\displaystyle x_{\mathrm {square} }(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\left((2k-1)2\pi ft\right)} \over (2k-1)}={\frac {4}{\pi }}\left(\sin(2\pi ft)+{1 \over 3}\sin(6\pi ft)+{1 \over 5}\sin(10\pi ft)+...\right)}$

以傅立葉級數來表達方波會出現吉布斯現象（Gibbs phenomenon）。非理想方波中的振鈴被證明與此現象有關。吉布斯現象可使用σ近似（σ-approximation）來阻止，而σ近似使用Lanczos σ因子來使序列更理想地收斂。

方波的高（1）和低（0）兩個值之間的轉換時，時間應盡量縮短，所以理想方波值的轉變是即時的。當然，這在現實世界中永不可能發生，因為它的轉變率要無限，並且要無限大的頻寬。

用加法合成增加諧波的數目來製造方波

在現實世界，方波只有有限的頻寬，因此會出現嚴重的吉布斯現象並常常表現出像吉布斯現象一樣的振鈴效應（ringing effect），或者是像σ近似一樣的波動效應（ripple effect）。

在現實世界，數碼電子的頻寬有限，方波只能以有限的頻寬來表達，意味著我們只能取一個近此方波的波型。要得出這個合理的波型，最少要有基波（fundamental harmonic）和第三次諧波（third harmonic）。當然，諧波的數量越多，波型就越像一個方波。

工作週期（duty cycle）是方波值「1」佔一個週期的時間比例。真實方波的工作週期是50%──即高值和低值占的時間一樣。方波的平均值是由工作週期決定的，因此通過改變ON和OFF週期然後求平均數，有可能代表兩個限制電平（limiting level）間的任意值。這是脈波寬度調變（pulse-width modulation）的基礎。

非理想方波的特性

正如已經提到的，理想方波在高和低兩個值之間是瞬時變化的。實際上，由於波形產生系統的物理局限性，這永遠不可能實現。信號從低值上升到高值然後再下降所花費的時間分別稱為脈衝上升時間（rise time）和脈衝衰減時間（fall time）。

如果系統出現過阻尼，那麼波就永遠不會達到理論上的高和低兩個值，如果系統出現欠阻尼，波在穩定下來之前就會在高和低兩個值附近振盪。在這兩種情況下，脈衝上升和衰減時間就會在兩個特定的中間值之間被測量，例如5%和95%之間，或10%和90%之間。公式存在的能決定系統的近似頻寬，決定了波的脈衝上升和衰減時間。

其他定義法

方波有很多定義法，除了在不連續點外它們都是等效的。

正弦函數定義法

${\displaystyle \ x(t)=\operatorname {sgn}(\sin(t))}$

當正弦值為正時上式等於1，當正弦值為負時上式等於−1，且0在不連續點上。

單位階躍函數u(t)與矩形函數⊓（t）定義法

${\displaystyle \ x(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\sqcap (t-nT)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\left(u\left(t-nT+{1 \over 2}\right)-u\left(t-nT-{1 \over 2}\right)\right)}$

占空比為50%時，T是2.也可以用分段的方式表示：

${\displaystyle \ x(t)={\begin{cases}1,&|t|<T_{1}\\0,&T_{1}<|t|\leq {T \over 2}\end{cases}}}$

當下列式子成立時，上述式子成立

${\displaystyle \ x(t+T)=x(t)}$

參見

• 矩形函數
• 脈波
• 正弦波
• 三角波
• 鋸齒波
• 波
• 聲音