斯托爾茲-切薩羅定理(英語:Stolz–Cesàro theorem)是數學分析學中的一個用於證明數列收歛的定理。該定理以奧地利人奧托·施托爾茨和意大利人恩納斯托·切薩羅命名。
假設
為嚴格遞增並發散至
, 而且
, 於是存在
使得
。因此我們有
而且
。
那麼,給定
,注意到
。因為
, 我們有
。
令
,由於
, 於是
。因此我們有
。那麼,對於
,我們有
。同樣地,對於
與
,
存在
使得對於所有
, 我們有
。於是,如果
, 那麼
。因此
。
, 那麼
。因此
。
, 那麼對於所有
使得
,存在一個
(上述
的最大值),使得對於所有
,我們有
。因此
。
對於
為嚴格遞減並發散至
的情況,注意到
且
為一個嚴格遞增至
的數列即得證。
假設
為嚴格遞減收斂至
, 而且
, 於是存在
使得
。因此我們有
而且
。
那麼,給定
,注意到
。因為
, 我們有
。
令
,由於
, 於是
。那麼,當
, 我們有
。同樣地,對於
和
存在
使得對於所有
, 我們有
。於是,如果
, 那麼
。因此
。
, 那麼
。因此
。
, 那麼對於所有
使得
,存在一個
(上述
的最大值),使得對於所有
,我們有
。因此
。
對於
為嚴格遞增並收斂到
的情況,注意到
且
為一個嚴格遞增至
的數列即得證。
利用與折線斜率的類比,該定理具有直觀的幾何意義。[3]
令
為一個收斂到
的正數數列, 定義
![{\displaystyle a_{n}:=\log(x_{1}\cdots x_{n}),\quad b_{n}:=n,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b26f42863836013f3994f7356b39c37185ecb12)
計算
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}{\frac {x_{1}\cdots x_{n+1}}{x_{1}\cdots x_{n}}}{\Big )}=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n+1})=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n})=\log(l),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/044be14bb278dc36edd8ca80adced04174bc3ea0)
這邊我們使用到對數函數是連續的。 因此
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\log(x_{1}\cdots x_{n})}{n}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}}{\Big )}=\log(l),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace9bb0e4c023b5d4313c3866836d234cbb663f7)
再一次,因為對數函數是連續和單調的,我們有
.
假設
為嚴格遞增並發散至
, 而且
, 於是存在
使得
。因此我們有
而且
。
那麼,給定
,注意到
。因為
, 我們有
。
令
,由於
, 於是
。因此我們有
。那麼,對於
,我們有
。
於是,當
,我們有
。因為
是任意大於
的數,
。當
,不等式顯然成立。
假設
, 於是存在
使得
。因此我們有
而且
。
那麼,給定
,注意到
。因為
, 我們有
。
令
,由於
, 於是
。因此我們有
。那麼,對於
,我們有
。
於是,當
,我們有
。因為
是任意小於
的數,
。當
,不等式顯然成立。
對於
為嚴格遞減並發散至
的情況,注意到
且
為一個嚴格遞增至
的數列即得證。