廣義黎曼猜想

黎曼猜想是數學中最重要的猜想之一，描述了黎曼ζ函數非平凡零點的分布規律。而其中黎曼ζ函數可以用各種整體L函數（global L-function）替代，由此得到黎曼猜想不同類型的推廣。這些推廣的猜想描述的是不同L函數非平凡零點分布的規律。許多數學家相信這些猜想是正確的。不過其中僅有部分函數域情形下的推廣得到了證明。

整體L函數可以與橢圓曲線、數域（此時稱為戴德金ζ函數）、馬斯形式（Maass form）或狄利克雷特徵（此時稱為狄利克雷L函數）相聯繫。其中，描述戴德金ζ函數的黎曼猜想被稱為擴展黎曼猜想（extended Riemann hypothesis，ERH），而描述狄利克雷L函數的黎曼猜想則被稱為廣義黎曼猜想（generalized Riemann hypothesis，GRH）。（也有許多數學家用「廣義黎曼猜想」用作對各種整體L函數推廣的總稱，而非單指狄利克雷L函數下的情形。）

廣義黎曼猜想

狄利克雷L函數下的廣義黎曼猜想最初可能是由皮爾茨（Piltz）於1884年提出的。與原始的黎曼猜想類似，該猜想對研究素數分布十分重要。

如查一個已知的狄利克雷特徵χ，可以定義如下狄利克雷L函數

${\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$

其中，s為實部大於1的所有複數。這一函數可以解析延拓為整個複平面上的亞純函數。廣義黎曼猜想即是指，狄利克雷L函數L(χ,s)的所有非平凡零點的實部都為1/2。

當對所有n都有χ(n) = 1時，廣義黎曼猜想退化為普通的黎曼猜想。

擴展黎曼猜想

假設K為數域（有理數域的有限次代數擴張域），O_K為K的整數環，a為O_K的理想，Na則為非零理想的絕對範數。於是可以定義K上的戴德金ζ函數

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{a}{\frac {1}{(Na)^{s}}}}$

其中，s為實部大於1的所有複數。求和運算對O_K的所有非零理想a進行。

這一函數也可以解析延宕到整個複平面上。擴展黎曼猜想是指，戴德金ζ函數ζ_K(s)的所有非平凡零點的實部都為1/2。

當數域K取有理數域Q，其整數環則為Z時，擴展黎曼猜想退化為普通的黎曼猜想。

參考文獻

• Hazewinkel, Michiel (編), Riemann hypothesis, generalized, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4